咱们先把问题再明确下：有一个装着编号1到n的彩票盒子，每次随机抽一张记录后放回，重复抽k≥3次。现在要算两种情况的概率：

a) 至少抽到一次编号为"1"的彩票 #

直接算“至少抽到一次1”的概率会有点繁琐，因为要考虑抽到1次、2次……直到k次的所有情况，加起来太麻烦。咱们换个思路用补集思想：先算“一次都没抽到1”的概率，再用1减去这个概率就是最终结果。

每次抽取时，抽不到1的概率是(n-1)/n——毕竟总共有n张彩票，除了1之外还有n-1张可选。由于每次抽取是独立的（抽完放回了），所以k次都抽不到1的概率就是((n-1)/n)^k。

因此，至少抽到一次1的概率为：

1 - ((n-1)/n)^k

b) 编号为"1"、"2"、"3"、"4"的彩票各恰好被抽到一次 #

首先要提一句：如果k < 4的话，这个情况根本不可能发生，概率直接为0。下面咱们只讨论k ≥ 4的情况：

首先，总共有n^k种可能的抽取结果（每次抽有n种选择，k次独立抽取，所以是n的k次方）。

接下来计算符合条件的结果数：

• 第一步：从k次抽取里选出4次，用来分别抽到1、2、3、4各一次。选这4个位置的方式有C(k,4)种（组合数，k选4），然后这4个位置上1、2、3、4的排列方式有4!种（4个不同数字的全排列），这部分的数量也可以直接写成k*(k-1)*(k-2)*(k-3)（第一个数字有k个位置可选，第二个数字剩k-1个，以此类推）。
• 第二步：剩下的k-4次抽取，每次都不能抽到1、2、3、4，所以每次有n-4种选择，这部分的结果数是(n-4)^(k-4)。

把两部分乘起来就是符合条件的总结果数，再除以总结果数n^k就是概率：

[ k*(k-1)*(k-2)*(k-3)*(n-4)^(k-4) ] / n^k

或者用组合数表示的版本：

[ C(k,4) * 4! * (n-4)^(k-4) ] / n^k

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