嘿，我来帮你把这些关于函数连续性的疑问一一拆解清楚：

1. 定义域为$(-\infty, -10) \cup (3, \infty)$的$f(x)=x$是否连续？ #

当然是连续函数！别忘了连续函数的核心定义：函数在定义域内的每一个点都连续。这个函数的定义域是两个不相交的区间，在这两个区间里的任意一点$x_0$，$\lim_{x \to x_0} f(x) = x_0 = f(x_0)$，完全满足连续的条件。至于区间中间的空白部分（比如$-10$到$3$之间的点），它们根本不在定义域里，连续性的定义只要求考虑定义域内的点，所以这些“空隙”不会影响函数的连续性。

2. 在$x=3$处有可去奇点的$f(x)=\frac{x-3}{x-3}$是否连续？ #

这个得分情况看，但本质上还是回到定义域的问题：

• 如果是默认的定义域（也就是$(-\infty,3)\cup(3,\infty)$），那这个函数其实等价于$f(x)=1$（除了$x=3$点，但它不在定义域里）。此时定义域内的每一个点都满足连续的条件，所以它是连续函数。
• 如果我们补充定义$f(3)=1$，那定义域扩展到全体实数$\mathbb{R}$，这时候$x=3$处的极限$\lim_{x \to 3} f(x)=1=f(3)$，整个函数在$\mathbb{R}$上也是连续的。
• 要是没补充定义，$x=3$不在定义域内，自然不用考虑它的连续性，函数在自身定义域内依然是连续的。

3. 单点构成的函数是否连续？ #

答案是肯定的！比如定义域是${a}$，函数值为$f(a)=b$。根据连续的定义，我们需要验证在点$a$处$\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$。对于单点定义域来说，$x$趋近于$a$的过程中，唯一能取到的点就是$a$本身，所以极限值就是$f(a)$，完全满足连续的条件，因此这个单点函数是连续的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user525966