我帮你把这些数学表达式和相关条件整理得清晰规范些，方便后续做结论推导参考：

1. 双曲函数恒等式 #

$$\cosh(\rho_{\lambda}(t))-1=\frac{2e^{{-2\rho_\lambda(t)}}{1-e}{-2\rho_\lambda(t)}}$$

2. 关于$\boldsymbol{\rho_\lambda(t)}$的微分方程与初值条件 #

$$\rho'{\lambda}(s)=\lambda(1+\langle\theta(s),f\lambda(s)\rangle),\quad \rho_\lambda(0)=0$$

3. 路径的约束性质 #

• $\theta(s)$是定义在单位球面$\mathbb S^{d-1}\subset \mathbb R^d$上的路径
• $f_\lambda(s)$是$\mathbb R^d$中的$C1$路径，满足：
  • 初值条件：$f_\lambda(0)=0$
  • 导数有界：$|f'_\lambda|$（上确界范数）存在明确上界

如果要基于这些性质推导结论，给你几个方向参考：

• 先利用双曲函数的基本恒等式简化核心等式，比如$\cosh x -1=2\sinh^2(x/2)$，能把等式两边的形式统一，方便后续和微分方程结合
• 从微分方程入手，利用$f_\lambda$导数有界的性质，估计$\langle\theta(s),f_\lambda(s)\rangle$的取值范围（比如用柯西不等式结合积分估计$f_\lambda(s)$的模长），进而得到$\rho'\lambda(s)$的上下界，再积分得到$\rho\lambda(t)$的增长估计
• 可以尝试对核心等式两边关于$t$求导，结合$\rho_\lambda$的微分方程，建立关于$\rho_\lambda(t)$的更直观的递推或估计关系

内容的提问来源于stack exchange，提问作者quallenjäger