我把这段关于凸函数的内容按要求整理好啦：

凸函数的基础可微性 #

• 任意凸函数 $g:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}$ 都是局部利普希茨的，因此 $g$ 几乎处处可微。
• 更进阶的结论来自亚历山德罗夫定理：这类凸函数实际上几乎处处二阶可微，换句话说，$g$ 几乎处处属于 ${\rm C}^1(\mathbf{R})$。

n=1,2时的光滑凸包络定义 #

针对 $n=1,2$，我们分别定义下光滑凸包络和上光滑凸包络：

下光滑凸包络 $L_n(g)$ #

$$L_n(g):=\sup\left{h:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}: h\leq g,; h;\text{是凸函数},;h\in{\rm C}^n(\mathbf{R})\right}$$

上光滑凸包络 $U_n(g)$ #

$$U_n(g):=\inf\left{h:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}: h\geq g,; h;\text{是凸函数},;h\in{\rm C}^n(\mathbf{R})\right}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Andrija