首先明确问题：已知(x,y\in\mathbb{R})，满足(|f(x)-f(y)|\leq(x-y)^2)，且(f(1)=2)，求(f(x))的表达式。

不用导数的话，我们可以利用三角不等式和极限思想来推导，具体步骤如下：

• 对于任意实数(x)，设(t = x - 1)，也就是(x = 1 + t)。我们把区间([1, x])（或([x,1])，取决于(t)的正负）分成(n)个相等的小段，分点依次是：
  [1,\ 1+\frac{t}{n},\ 1+\frac{2t}{n},\ \dots,\ 1+\frac{(n-1)t}{n},\ 1+t=x]

• 根据三角不等式，(|f(x)-f(1)|)可以拆成相邻分点函数值差的绝对值之和：
  [
  |f(x)-f(1)| = \left|f\left(1+t\right) - f(1)\right| \leq \sum_{k=1}^n \left|f\left(1+\frac{kt}{n}\right) - f\left(1+\frac{(k-1)t}{n}\right)\right|
  ]

• 代入题目给出的条件(|f(a)-f(b)|\leq(a-b)^2)，每一项的绝对值都满足：
  [
  \left|f\left(1+\frac{kt}{n}\right) - f\left(1+\frac{(k-1)t}{n}\right)\right| \leq \left(\frac{t}{n}\right)^2
  ]

• 把(n)项加起来，总和满足：
  [
  |f(x)-f(1)| \leq n \cdot \left(\frac{t}{n}\right)^2 = \frac{t^2}{n}
  ]

• 现在看右边的(\frac{t^2}{n})：(t = x-1)是固定的实数，当(n)取任意正整数时，我们可以让(n)趋向于无穷大，此时(\frac{t^2}{n})会趋向于0。这意味着(|f(x)-f(1)|)必须小于等于任意趋近于0的正数，那它只能等于0，即：
  [
  f(x) = f(1) = 2
  ]

这样就不用导数的方法推导出了(f(x))的表达式，是不是很巧妙？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DXT