好的，咱们先把归纳假设摆清楚：当n=k（k≥2）时，任何满足条件的区间集合（任意两个区间要么不相交，要么一个包含另一个），最多只能有k-1个区间——这是我们已经假设成立的前提。

现在要证n=k+1时，这样的区间集合M最多有k个区间。我先给你理个直观的思路：先找M里的极大区间——就是那些不被M里任何其他区间包含的区间。

为啥要找极大区间？因为根据题目条件，任意两个极大区间肯定不相交：要是两个极大区间相交了，那按规则要么一个包含另一个，但这就和“极大”的定义矛盾了呀，所以它们只能两两不相交。

假设M里有t个极大区间，记成I₁=[a₁,b₁], I₂=[a₂,b₂], ..., I_t=[a_t,b_t]，这些区间两两不相交，所以自然是按顺序排开的：1≤a₁<b₁<a₂<b₂<...<a_t<b_t≤k+1。

接下来看每个极大区间I_i里面的情况：所有被I_i包含的区间（包括I_i自己）构成一个子集M_i，这个M_i显然也满足题目条件——毕竟是M的子集嘛。而I_i对应的是从a_i到b_i的自然数区间，总共有m_i = b_i - a_i +1个自然数，相当于n=m_i的情况。根据归纳假设，M_i里最多有m_i -1个区间。

现在算M的总区间数：把每个M_i的数量加起来，总数量肯定不超过$\sum_{i=1}^t (m_i -1)$。展开这个式子：
$\sum_{i=1}^t (m_i -1) = \sum_{i=1}^t (b_i -a_i +1 -1) = \sum_{i=1}^t (b_i -a_i)$

接下来关键的一步：因为这些极大区间两两不相交，它们覆盖的自然数总数最多就是整个[1,k+1]的长度，也就是k+1。而覆盖的自然数总数等于$\sum_{i=1}^t (b_i -a_i +1)$，所以：
$\sum_{i=1}^t (b_i -a_i) + t ≤ k+1$

把t移到右边，就得到：
$\sum_{i=1}^t (b_i -a_i) ≤ k+1 - t$

因为t至少是1（哪怕M只有一个区间，t=1），所以右边最多是k+1-1=k。也就是说，M的总区间数≤k，正好符合我们要证的结论！

这样归纳步骤就走完了，结合n=2的基础情况，就能得出所有n>1的自然数都满足这个结论啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者zariski