嘿，这个问题问得太到位了！既然你已经吃透了一次和二次项，那咱们直接聚焦三次项的线性代数表达，把它和你熟悉的内容串起来～

首先先明确符号：假设我们有n元函数 ( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} )，在点 ( \mathbf{a} = (a_1,a_2,...,a_n) ) 处足够光滑（混合偏导数连续），增量向量 ( \mathbf{h} = (h_1,h_2,...,h_n) = \mathbf{x} - \mathbf{a} )。

先从你熟悉的项过渡 #

• 一次项是线性映射：( \nabla f(\mathbf{a}) \cdot \mathbf{h} )，本质是梯度向量（一阶张量）和h的内积；
• 二次项是双线性映射的二次型：( \frac{1}{2!} \mathbf{h}^T H_f(\mathbf{a}) \mathbf{h} )，这里海森矩阵 ( H_f(\mathbf{a}) ) 是对称二阶张量，作用在h上两次。

三次项的线性代数表达 #

三次项对应的是对称三重线性映射（或者说对称三阶张量）的求值，形式如下：
[
\frac{1}{3!} \cdot \mathcal{T}(\mathbf{h}, \mathbf{h}, \mathbf{h})
]
其中：

• ( \mathcal{T} = \nabla^3 f(\mathbf{a}) ) 是f在点( \mathbf{a} )处的三阶导数张量，它是一个n×n×n的对称张量，元素定义为：
  [
  \mathcal{T}{ijk} = \frac{\partial^3 f}{\partial x_i \partial x_j \partial x_k}(\mathbf{a})
  ]
  因为混合偏导数连续，所以这个张量的三个指标是对称的（比如( \mathcal{T}{ijk} = \mathcal{T}{jik} = \mathcal{T}{ikj} )）；
• ( \mathcal{T}(\mathbf{h}, \mathbf{h}, \mathbf{h}) ) 表示把这个三重线性映射连续作用在向量h上三次，展开成求和形式就是：
  [
  \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \mathcal{T}_{ijk} h_i h_j h_k
  ]

举个二元函数的例子更直观 #

比如二元函数 ( f(x,y) ) 在点( (a,b) )处的三次项，代入n=2的情况：
[
\frac{1}{6} \left[ f_{xxx}(a,b)(x-a)^3 + 3f_{xxy}(a,b)(x-a)^2(y-b) + 3f_{xyy}(a,b)(x-a)(y-b)^2 + f_{yyy}(a,b)(y-b)^3 \right]
]
这里的系数3就是因为对称张量的指标组合数（比如两个x一个y的组合有3种：xxy、xyx、yxx，而它们对应的偏导数相等，所以合并后系数为3），正好对应三重求和中重复项的合并。

核心逻辑总结 #

和低阶项对应：

• 一阶项：一阶张量（向量）× 向量（一次），除以1!
• 二阶项：二阶张量（矩阵）× 向量×向量（二次），除以2!
• 三阶项：三阶张量 × 向量×向量×向量（三次），除以3!

本质上就是把导数的阶数对应到张量的阶数，每多一阶就多一次对增量向量h的作用，再除以阶乘来抵消对称张量的重复计数～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user1559897