嘿，让我来一步步拆解这两个问题：

1. n阶矩阵的最大行列式值 #

首先得明确：如果不对矩阵元素做任何限制，行列式的值可以无限大——比如把某个元素取到极大值，整个行列式也会跟着趋向无穷。所以我们通常讨论的是元素绝对值不超过1的实矩阵的情况，这时候有经典的Hadamard定理给出结论：

• 对于所有元素满足 (|a_{ij}| \leq 1) 的n阶实矩阵，其行列式的最大值不超过 (n^{n/2})。
• 当且仅当该矩阵是Hadamard矩阵时，行列式能取到这个最大值。Hadamard矩阵是满足行向量两两正交、且每个元素为±1的方阵，它存在的条件是n=1、2，或n是4的倍数。

如果是限定元素为整数的情况，最大行列式的结果会随n变化，比如n=3时，元素为整数且绝对值≤1的矩阵最大行列式是2，n=4时因为Hadamard矩阵存在，最大行列式是16。

2. 元素仅取0或5的3阶矩阵的最大行列式值 #

这个问题可以用行列式的齐次性来简化：假设矩阵(A)的每个元素是0或5，那我们可以把(A)写成 (A = 5B)，其中(B)是元素仅取0或1的3阶矩阵。根据行列式的性质，(\det(A) = 5^3 \det(B) = 125 \det(B))，所以问题转化为求元素为0或1的3阶矩阵的最大行列式，再乘以125就行。

对于元素为0或1的3阶矩阵，我们可以通过行列式展开分析：行列式展开是6个项的代数和，每个项只能是0或±1。通过构造矩阵测试，我们能找到行列式最大的例子：

B = [
  [1, 1, 0],
  [0, 1, 1],
  [1, 0, 1]
]

计算它的行列式：(\det(B) = 1*(11 - 10) - 1*(01 - 11) + 0*(00 - 11) = 1 + 1 = 2)，这是元素为0或1的3阶矩阵能达到的最大值——没法得到更大的了，比如如果尝试让展开式的正项和为3，会导致矩阵的行/列线性相关，行列式直接变成0。

对应到原矩阵(A)，就是每个元素乘5：

A = [
  [5, 5, 0],
  [0, 5, 5],
  [5, 0, 5]
]

它的行列式是 (125 * 2 = 250)，这就是元素仅取0或5的3阶矩阵能达到的最大行列式值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者halzz