首先明确平面情形下的简化方程：球形PB方程中的径向项$\frac{2}{x}\frac{dy}{dx}$在平面极限下会消失，因此平面PB方程为：
$$\frac{d^2y}{dx2}=\sinh(y)$$

这个二阶自治常微分方程存在完整解析解，我们可以通过降阶法逐步推导：

• 第一步：一阶降阶
  令$z = \frac{dy}{dx}$，则二阶导数可改写为$\frac{d^2y}{dx2} = z\frac{dz}{dy}$，代入方程得：
  $$z\frac{dz}{dy} = \sinh(y)$$

• 第二步：第一次积分
  对两边关于$y$积分：
  $$\int z dz = \int \sinh(y) dy$$
  积分后得到：
  $$\frac{1}{2}z^2 = \cosh(y) + C$$
  结合你提到的无穷远边界条件$y(x\to\infty)=0$且$\frac{dy}{dx}(x\to\infty)=0$，代入得$0 = \cosh(0) + C$，即$C=-1$。式子可化简为：
  $$\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \cosh(y) - 1$$
  利用双曲恒等式$\cosh(y)-1=2\sinh^2\left(\frac{y}{2}\right)$，进一步得到：
  $$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 4\sinh^2\left(\frac{y}{2}\right)$$
  根据物理意义（电势随距离增大衰减，导数为负），取负号：
  $$\frac{dy}{dx} = -2\sinh\left(\frac{y}{2}\right)$$

• 第三步：第二次积分（求解$y(x)$）
  分离变量后积分：
  $$\int \frac{dy}{2\sinh\left(\frac{y}{2}\right)} = -\int dx + D$$
  左边积分通过变量代换$u=\frac{y}{4}$求解，结果为$\ln\left|\tanh\left(\frac{y}{4}\right)\right|$，整理得：
  $$\ln\tanh\left(\frac{y}{4}\right) = -x + D$$
  令$A=e^D$（$A$为常数），两边取指数后解出$y(x)$：
  $$y(x) = 4\tanh^{-1}\left(A e^{-x}\right)$$
  利用反双曲函数的对数形式，也可改写为更直观的形式：
  $$y(x) = 2\ln\left(\frac{1 + A e^{-x}}{1 - A e^{-x}}\right)$$

• 第四步：确定常数$A$
  结合边界条件（比如平面情形下类似的$x=x_0$处$\frac{dy}{dx}=-s$），代入$\frac{dy}{dx}=-2\sinh\left(\frac{y}{2}\right)$即可关联$A$与$s$的关系。例如若在$x=0$处$\frac{dy}{dx}=-s$，则$s=2\sinh\left(\frac{y(0)}{2}\right)$，而$A=\tanh\left(\frac{y(0)}{4}\right)$，两者可相互推导。

这个解析解在电化学领域被称为Gouy-Chapman解，是描述平面双电层电势分布的经典结果。

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