没问题，咱们一步步推导这个代换怎么把原方程转化为不含一阶导数的形式，过程很清晰：

首先明确已知条件：

• 原微分方程：$$ y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 $$
• 代换形式：$$ y(x) = u(x)v(x) $$，其中$$ v(x) = \exp\left(-\frac{1}{2}\int p(x)\ dx\right) $$

步骤1：计算v(x)的一阶和二阶导数 #

先对v(x)求导，用复合函数求导法则：
$$ v'(x) = \exp\left(-\frac{1}{2}\int p(x)\ dx\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}p(x)\right) = -\frac{p(x)}{2}v(x) $$

再求二阶导数v''(x)，对v'(x)再次求导：
$$
\begin{align*}
v''(x) &= -\frac{1}{2}\left(p'(x)v(x) + p(x)v'(x)\right) \
&= -\frac{p'(x)}{2}v(x) - \frac{p(x)}{2} \cdot \left(-\frac{p(x)}{2}v(x)\right) \
&= v(x)\left( \frac{p(x)^2}{4} - \frac{p'(x)}{2} \right)
\end{align*}
$$

步骤2：计算y(x)的一阶和二阶导数 #

根据乘积法则，先算y'(x)：
$$
y'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = u'(x)v(x) - \frac{p(x)}{2}u(x)v(x)
$$

再算y''(x)，对y'(x)求导：
$$
\begin{align*}
y''(x) &= u''(x)v(x) + u'(x)v'(x) + u'(x)v'(x) + u(x)v''(x) \
&= u''(x)v(x) + 2u'(x)v'(x) + u(x)v''(x)
\end{align*}
$$

把v'(x)和v''(x)代入上式：
$$
\begin{align*}
y''(x) &= u''(x)v(x) + 2u'(x)\left(-\frac{p(x)}{2}v(x)\right) + u(x) \cdot v(x)\left( \frac{p(x)^2}{4} - \frac{p'(x)}{2} \right) \
&= u''(x)v(x) - p(x)u'(x)v(x) + u(x)v(x)\left( \frac{p(x)^2}{4} - \frac{p'(x)}{2} \right)
\end{align*}
$$

步骤3：代入原方程并化简 #

把y(x)、y'(x)、y''(x)代入原方程$$ y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 $$：
$$
\begin{align*}
&u''(x)v(x) - p(x)u'(x)v(x) + u(x)v(x)\left( \frac{p(x)^2}{4} - \frac{p'(x)}{2} \right) \
&+ p(x)\left( u'(x)v(x) - \frac{p(x)}{2}u(x)v(x) \right) + q(x)u(x)v(x) = 0
\end{align*}
$$

现在展开并合并同类项：

• 含$$ u''v $$的项：$$ u''(x)v(x) $$
• 含$$ u'v $$的项：$$ -p(x)u'(x)v(x) + p(x)u'(x)v(x) = 0 $$（这两项直接抵消）
• 含$$ uv $$的项：
  $$
  \begin{align*}
  &u(x)v(x)\left( \frac{p(x)^2}{4} - \frac{p'(x)}{2} \right) - \frac{p(x)^2}{2}u(x)v(x) + q(x)u(x)v(x) \
  &= u(x)v(x)\left( q(x) - \frac{p'(x)}{2} - \frac{p(x)^2}{4} \right)
  \end{align*}
  $$

所以原方程简化为：
$$ u''(x)v(x) + u(x)v(x)\left( q(x) - \frac{p'(x)}{2} - \frac{p(x)^2}{4} \right) = 0 $$

因为$$ v(x) = \exp\left(-\frac{1}{2}\int p(x)\ dx\right) $$是指数函数，恒不为0，两边同时除以v(x)，得到：
$$ u''(x) + f(x)u(x) = 0 $$

其中$$ f(x) = q(x) - \frac{p'(x)}{2} - \frac{p(x)^2}{4} $$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Nick