这个问题确实乍一看简单，但抠到细节（比如通项绝对值的单调性）就会有点绕，我一步步拆解给你看：

第一步：判断是否绝对收敛 #

我们先看原级数各项取绝对值后的级数：
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n}}{n+4}$$
用极限比较法，和已知发散的p级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}$（p=1/2 < 1，发散）做比较：
$$\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{\sqrt{n}}{n+4}}{\frac{1}{\sqrt{n}}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+4} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1+\frac{4}{n}} = 1$$
因为极限是一个正的有限值，且$\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$发散，所以绝对值级数$\sum \frac{\sqrt{n}}{n+4}$也发散——这说明原级数不绝对收敛。

第二步：用交错级数判别法（莱布尼茨判别法）判断条件收敛 #

交错级数判别法要求两个核心条件：

1. 通项的绝对值$\lim_{n\to\infty} a_n = 0$，其中$a_n = \frac{\sqrt{n}}{n+4}$；
2. 数列${a_n}$单调递减。

先验证第一个条件：
$$\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}}{n+4} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n} + \frac{4}{\sqrt{n}}} = 0$$
这个很直观，分子是根号级增长，分母是线性增长，显然趋向于0。

接下来解决你纠结的点：${a_n}$是否单调递减？
这里我们可以借助函数的单调性来判断——把离散的n换成连续变量x，定义函数：
$$f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+4}, \quad x \geq 1$$
对f(x)求导，看导数的符号：
$$f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+4) - \sqrt{x} \cdot 1}{(x+4)^2} = \frac{(x+4) - 2x}{2\sqrt{x}(x+4)^2} = \frac{4 - x}{2\sqrt{x}(x+4)^2}$$
从导数可以看出：

• 当x < 4时，导数为正，f(x)单调递增；
• 当x > 4时，导数为负，f(x)单调递减。

也就是说，当n ≥ 5时，数列${a_n}$是单调递减的。而交错级数判别法只要求数列从某一项开始单调递减就行——前面有限项（n=1到4）的增减性不影响整个级数的敛散性，因为有限项的和是有限值，不会改变级数收敛与否的结果。

综上，原级数满足交错级数判别法的两个条件，因此它是条件收敛的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jonelle Yu