我来帮你一步步推导并验证这个差分计算的结果！先明确问题和给定的定义：

已知定义 #

• 下降阶乘：$x^{(n)} = x(x-1)\dots(x-n+1)$
• 负下降阶乘：$x^{(-n)} = \frac{1}{(x+n)^{(n)}}$
• 差分算子：$\Delta f(x) = f(x+1) - f(x)$

你的求解开头 #

你已经写出了差分的展开式开头：

$$\begin{eqnarray*}\Delta x^{(4)}x{(-3)}&=&(x+1)^{(4)}(x+1){(-3)}-x^{(4)}x{(-3)}\&=&\frac{(x+1)...$$

完整推导与验证 #

接下来我们把推导补全并化简：

首先，根据定义展开每一项：

• $(x+1)^{(4)} = (x+1)x(x-1)(x-2)$
• $(x+1)^{(-3)} = \frac{1}{(x+1+3)^{(3)}} = \frac{1}{(x+4)(x+3)(x+2)}$
• $x^{(4)} = x(x-1)(x-2)(x-3)$
• $x^{(-3)} = \frac{1}{(x+3)(x+2)(x+1)}$

将这些代入差分表达式：
$$
\begin{align*}
\Delta x^{(4)}x{(-3)} &= (x+1)^{(4)}(x+1){(-3)} - x^{(4)}x{(-3)} \
&= \frac{(x+1)x(x-1)(x-2)}{(x+4)(x+3)(x+2)} - \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{(x+3)(x+2)(x+1)} \
\end{align*}
$$

提取公因子$\frac{x(x-1)(x-2)}{(x+3)(x+2)}$：
$$
= \frac{x(x-1)(x-2)}{(x+3)(x+2)} \left( \frac{x+1}{x+4} - \frac{x-3}{x+1} \right)
$$

对括号内的部分通分计算：
$$
\frac{(x+1)^2 - (x-3)(x+4)}{(x+4)(x+1)} = \frac{x^2+2x+1 - (x^2+x-12)}{(x+4)(x+1)} = \frac{x + 13}{(x+4)(x+1)}
$$

将结果代回并化简：
$$
= \frac{x(x-1)(x-2)(x+13)}{(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)}
$$

如果用下降阶乘的形式整理，分子$x(x-1)(x-2)=x^{{(3)}$，分母$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=(x+1)}{(4)}$，所以也可以写成：
$$
= \frac{(x+13)x^{(3)}}{(x+1){(4)}} \quad \text{或} \quad (x+13)x^{(3)}x{(-4)}
$$

这个结果是严格按照定义推导出来的，步骤没有问题，你可以对照自己的推导过程看看是否一致~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Eleven-Eleven