嘿，我来一步步带你把这个分式化简成目标形式，咱们从最基础的分母有理化入手——毕竟分母带根号的话，计算和整理都不太方便～

步骤1：对分母进行有理化 #

要消掉分母里的根号，最常用的方法就是给分子分母同时乘以分母的共轭根式，也就是$\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}$（共轭根式就是把分母里的减号换成加号）。这样做的依据是平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b2$，能直接把分母的根号去掉：

原式 = \frac{(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}) \times (\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1})}{(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}) \times (\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1})}

步骤2：计算化简后的分母 #

用平方差公式展开分母：

• 第一项：$(\sqrt{x-1})^2 = x-1$（根号和平方抵消）
• 第二项：$(\sqrt{x+1})^2 = x+1$
• 分母整体：$(x-1) - (x+1) = x-1 -x -1 = -2$

步骤3：计算化简后的分子 #

分子是$(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1})^{2$，用完全平方公式$(a+b)}2=a^2+2ab+b2$展开：

• 第一项：$(\sqrt{x-1})^2 = x-1$
• 中间项：$2 \times \sqrt{x-1} \times \sqrt{x+1} = 2\sqrt{(x-1)(x+1)} = 2\sqrt{x^2-1}$（这里用了平方差公式把根号里的式子合并）
• 第三项：$(\sqrt{x+1})^2 = x+1$
  把三项加起来合并同类项：
  $(x-1) + 2\sqrt{x^2-1} + (x+1) = (x-1+x+1) + 2\sqrt{x^2-1} = 2x + 2\sqrt{x^2-1}$

步骤4：约分并整理最终形式 #

把计算好的分子分母代入原式：

原式 = \frac{2x + 2\sqrt{x^2-1}}{-2}

分子提取公因子2，和分母的-2约分：

= \frac{2(x + \sqrt{x^2-1})}{-2} = -(x + \sqrt{x^2-1}) = -x - \sqrt{x^2-1}

调整一下项的顺序，就得到题目要求的$-\sqrt{x^2-1}-x$啦～

另外要注意题目里给的$x\ge1$这个条件，它保证了$\sqrt{x-1}$和$\sqrt{x^2-1}$都是实数，整个化简过程是完全成立的，不会出现根号内为负数的情况。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Edmond