我来一步步拆解这个线性方程组的求解过程，先从系数矩阵和高斯消元的结果入手，再分两种情况详细讨论：

首先，原方程组的系数矩阵为：
$$
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 \
1 & 2 & 3 & 4 \
2 & 3 & 4 & 5 \
\end{pmatrix}
$$

通过高斯消元法进行行变换后，得到行简化阶梯形矩阵：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & -2 \
0 & 1 & 2 & 3\
0 & 0 & 0 & 0 \
\end{pmatrix}
$$

情形1：齐次方程组（$a_1 = a_2 = a_3 = 0$） #

对应的线性方程组转化为：
$$
\begin{cases}
x_1 - x_3 - 2x_4 = 0 \
x_2 + 2x_3 + 3x_4 = 0 \
0 = 0
\end{cases}
$$

这里$x_3$和$x_4$是自由变量（可取任意实数），我们设$x_3 = t$，$x_4 = s$（$t, s \in \mathbb{R}$），进而解出$x_1$和$x_2$：

• 由第一个方程可得：$x_1 = x_3 + 2x_4 = t + 2s$
• 由第二个方程可得：$x_2 = -2x_3 - 3x_4 = -2t - 3s$

因此，该齐次方程组的所有解（通解）可表示为向量形式：
$$
\begin{pmatrix}
x_1 \
x_2 \
x_3 \
x_4
\end{pmatrix}
= t\begin{pmatrix}
1 \
-2 \
1 \
0
\end{pmatrix}

• s\begin{pmatrix}
  2 \
  -3 \
  0 \
  1
  \end{pmatrix}, \quad t, s \in \mathbb{R}
  $$

情形2：非齐次方程组（$a_1=12, a_2=30, a_3=40$） #

先写出原方程组的增广矩阵，再应用和系数矩阵相同的行变换，得到行简化后的增广矩阵：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & -2 & | & 6 \
0 & 1 & 2 & 3 & | & 12\
0 & 0 & 0 & 0 & | & -2 \
\end{pmatrix}
$$

注意最后一行对应的方程是$0 = -2$，这是一个矛盾式，说明这个非齐次方程组没有解（无解）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Hello