首先得纠正你一开始的小误区：你令α+α²=0得到α=0或α=-1，但α³=p（p是素数），显然α不可能是0（0³=0≠p），也不可能是-1（(-1)³=-1≠p，素数都是正整数），所以β=α+α²≠0，咱们换个思路一步步推导：

步骤1：设β=α+α²，利用α³=p展开β的幂次 #

已知α³=p，那所有α的高次幂都能转化为α的0次、1次、2次幂的组合：α⁴=α·α³=pα，α⁵=α·α⁴=pα²，以此类推。

先写基础的一次方：
β = α² + α

计算二次方：
β² = (α² + α)² = α⁴ + 2α³ + α²
把α⁴=pα、α³=p代入，得到：
β² = pα + 2p + α²

计算三次方：
β³ = (α² + α)³ = α⁶ + 3α⁵ + 3α⁴ + α³
分别替换各项：

• α⁶=(α³)²=p²
• α⁵=pα²
• α⁴=pα
• α³=p
  代入后化简：
  β³ = p² + 3pα² + 3pα + p = p(p + 1) + 3p(α² + α)
  注意到α²+α=β，所以进一步简化为：
  β³ = p(p + 1) + 3pβ

步骤2：整理得到β满足的多项式 #

把上式移项整理，就能得到β满足的三次多项式：
β³ - 3pβ - p(p + 1) = 0

步骤3：证明这是ℚ上的极小多项式 #

首先，K=ℚ(α)在ℚ上的次数是3——因为多项式x³-p用艾森斯坦判别法可证不可约（素数p整除常数项p，p²不整除常数项，首项系数1不被p整除）。

而β=α+α²∈ℚ(α)，如果β在ℚ上的次数小于3，那ℚ(β)是ℚ(α)的子域，次数只能是1，也就是β∈ℚ。但假设β=q∈ℚ，那么α²+α - q=0，结合α³=p，我们用α³=p除以α²+α - q：
α³ = α·(α²+α - q) - α² + qα = α·(α²+α - q) - (α²+α - q) + (q-1)α + q
因为α²+α - q=0，所以α³=(q-1)α + q，又因为α³=p，所以(q-1)α + (q - p)=0。
由于α是ℚ上次数为3的代数元，系数必须全为0：q-1=0且q-p=0，即1=p，但p是素数，不可能等于1，矛盾。因此β不在ℚ上，它在ℚ上的次数为3，刚才得到的三次多项式就是它的极小多项式。

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