你这个问题卡到三角函数项上很正常，我来一步步帮你拆解：

核心思路梳理 #

函数在$\mathbb{R}$上单调递增的充要条件是导数$f'(x) \geq 0$对所有$x \in \mathbb{R}$恒成立，你已经正确求出了导数：
$$f'(x)=3x^2+2kx+5+4\sin2x$$
接下来的关键是处理含$\sin2x$的项，我们可以利用三角函数的有界性和代数变形来转化问题。

步骤1：变形导数，分离非负项 #

注意到$\sin2x$的取值范围是$[-1,1]$，因此$4\sin2x \in [-4,4]$。我们把导数拆成两部分：
$$f'(x) = (3x^2+2kx+1) + 4(1+\sin2x)$$
这里的$1+\sin2x$可以变形为$(\sin x + \cos x)^2$，显然它是非负的（平方数不可能小于0）。

步骤2：转化为二次函数恒非负问题 #

因为$4(1+\sin2x) \geq 0$，所以只要$3x^2+2kx+1 \geq 0$对所有$x \in \mathbb{R}$恒成立，就能保证$f'(x) \geq 0$恒成立。

反过来想：如果$3x^2+2kx+1$存在小于0的情况，那必然存在某个$x$使得$\sin2x=-1$（$\sin2x=-1$的解是$x=-\frac{\pi}{4}+k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$，这些点遍布整个实数轴），此时$f'(x)=3x^2+2kx+1 < 0$，直接破坏了单调递增的条件。

步骤3：求解二次函数恒非负的参数范围 #

对于二次函数$g(x)=3x^2+2kx+1$，要使其在$\mathbb{R}$上恒非负，需要满足判别式$\Delta \leq 0$：

1. 计算判别式：$\Delta=(2k)^2 - 4 \times 3 \times 1 = 4k^2 - 12$
2. 令$\Delta \leq 0$，即$4k^2 - 12 \leq 0$，化简得$k^2 \leq 3$
3. 最终得到参数范围：$-\sqrt{3} \leq k \leq \sqrt{3}$

验证结论 #

当$k$在$[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$区间内时，$g(x)$的最小值非负，加上非负的$4(1+\sin2x)$，导数必然非负；而且不存在$x$能让$g(x)=0$和$1+\sin2x=0$同时成立，所以导数实际上恒正，函数严格单调递增。如果$k$超出这个范围，就会存在某个$x$使得导数为负，函数不再单调递增。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Carrick