关于递归多项式fₙ的次数及对称实根性质的证明问询

阿华AIGC实验室

2026-5-19

递归多项式$f_n(x)$的性质证明

嘿，我来帮你把这个问题的完整证明梳理清楚，分成两个核心部分拆解，重点搞定你提到的根的性质难点：

一、证明$f_n(x)$是n次多项式

这里用数学归纳法就能轻松搞定：

基例验证：当$n=0$时，$f_0(x)\equiv1$，是0次多项式，显然成立。
归纳假设：假设对于任意$k=n$，$f_n(x)$是首项系数为1的n次多项式（这个首项系数的细节后面有用）。
归纳推导：根据递归式$f_{n+1}(x)=xf_n(x)-f'_n(x)$，展开来看：
- $xf_n(x)$的首项是$1 \cdot x^{{n+1}$（因为$f_n(x)$首项是$x}n$）；
- $f'n(x)$的最高次项是$n x^{{n-1}$，比$xf_n(x)$的首项低两次，完全不会影响$x}{n+1}$项的存在。
  因此$f{n+1}(x)$是首项系数为1的$n+1$次多项式。由归纳法可知，对所有非负整数n，$f_n(x)$都是n次多项式。

二、证明$f_n(x)$有n个关于0对称的不同实根

这部分分两步走：先证根的对称性，再用归纳法结合罗尔定理证明根的个数与互异性。

2.1 根的对称性（若$a$是根，则$-a$也是根）

先观察$f_n(x)$的奇偶性：

$f_0(x)=1$是偶函数；
假设$f_n(x)$是偶函数，则$f'n(x)$是奇函数，$xf_n(x)$是奇函数（偶函数乘x），因此$f{n+1}(x)=\text{奇函数}-\text{奇函数}=\text{奇函数}$；
假设$f_n(x)$是奇函数，则$f'n(x)$是偶函数，$xf_n(x)$是偶函数（奇函数乘x），因此$f{n+1}(x)=\text{偶函数}-\text{偶函数}=\text{偶函数}$。
递推可得：n为偶数时$f_n(x)$是偶函数，n为奇数时是奇函数。

根据奇偶性的定义，若$f_n(a)=0$，则$f_n(-a)=\pm f_n(a)=0$，即$-a$也是$f_n(x)$的根，对称性得证。

2.2 证明$f_n(x)$有n个不同实根

这里用数学归纳法+罗尔定理，先构造一个辅助函数简化推导：
令$h_n(x)=e^{-x2/2}f_n(x)$，对其求导可得：
$$h'n(x)=e^{-x2/2}\left(f'n(x)-xf_n(x)\right)=-e^{-x2/2}f{n+1}(x)$$
变形后得到关键关系：
$$f{n+1}(x)=-e^{x2/2}h'n(x)$$
这说明$f{n+1}(x)$的根就是$h_n(x)$的极值点（导数为0的点），而$h_n(x)$的根和$f_n(x)$完全一致（因为$e^{-x2/2}$恒正）。

接下来用归纳法：

基例验证：
- $n=1$时，$f_1(x)=xf_0(x)-f'_0(x)=x$，根为$x=0$，1个实根，成立；
- $n=2$时，$f_2(x)=xf_1(x)-f'_1(x)=x^2-1$，根为$\pm1$，2个不同实根，成立。
归纳假设：假设$n=k$时，$f_k(x)$有k个不同的实根，且关于0对称，按顺序排列为：
- 当k为偶数：$-a_m < -a_{m-1} < ... < -a_1 < a_1 < ... < a_{m-1} < a_m$（共$2m=k$个根）；
- 当k为奇数：$-a_m < ... < -a_1 < 0 < a_1 < ... < a_m$（共$2m+1=k$个根）。
归纳推导：
对于$h_k(x)=e^{-x2/2}f_k(x)$，它和$f_k(x)$有相同的k个根，且当$x\to\pm\infty$时，$h_k(x)\sim x^k e^{-x2/2}\to0$（因为指数衰减比多项式增长快）。
根据罗尔定理：
1. 在$f_k(x)$的每两个相邻根之间，$h_k(x)$的导数$h'k(x)$至少有一个零点（即$f{k+1}(x)$的根）；
2. 在区间$(-\infty, -a_m)$和$(a_m, +\infty)$，$h_k(x)$从0（无穷远）到0（端点根），中间必然存在极值点，即$h'_k(x)$的零点。
统计零点数量：
- 若k为偶数（$k=2m$）：相邻根间有$2m-1$个区间，加上两个无穷远区间，共$2m-1+2=2m+1=k+1$个零点；
- 若k为奇数（$k=2m+1$）：相邻根间有$2m$个区间，加上两个无穷远区间，共$2m+2=k+1$个零点。
而$f_{k+1}(x)$是$k+1$次多项式，最多有$k+1$个根，因此这些零点就是全部的根，且互不重复（每个区间仅一个极值点，因为$h_k(x)$在区间内单调变化趋势唯一）。
结合2.1的对称性结论，这些根自然关于0对称。