让我们一步步拆解这个问题，最终算出玩家的期望收益：

1. 明确每个结果的概率与收益 #

• 首次成功出现在第k次试验的概率：因为前k-1次全是失败，第k次成功，所以概率为 q^(k-1)p，其中 q=1-p（q是单次试验失败的概率）。
• 对应收益：题目里说第1次成功赢2美元，第2次赢1美元，第3次赢1/2美元，以此类推，第k次成功的收益是 2^(2 - k) 美元（验证下：k=1时是2，k=2时是1，k=3时是1/2，完全匹配题目描述）。

2. 写出期望收益的公式 #

根据期望的定义，期望收益E[X]是所有可能结果的「收益×概率」之和，也就是下面这个无穷级数：

E[X] = Σ（k=1到∞）[ 2^(2 - k) * q^(k-1) * p ]

3. 化简无穷级数 #

直接计算无穷项肯定不现实，咱们把它转化成等比级数来求解：

1. 先调整级数的索引：令n = k-1（此时n从0到∞），那么k = n+1，代入后级数变成：

E[X] = p * Σ（n=0到∞）2^(2 - (n+1)) * q^n = p * Σ（n=0到∞）2^(1 - n) * q^n

2. 拆分2的幂次，把常数项提出来：

E[X] = 2p * Σ（n=0到∞）(q/2)^n

这是个首项为1、公比为r = q/2的等比级数。我们知道，等比级数Σ（n=0到∞）r^n的和是1/(1 - r)，只要|r| < 1就行。这里q=1-p，而p是概率（0≤p≤1），所以q≤1，r = q/2 ≤ 0.5 < 1，完全满足收敛条件。

4. 计算最终结果 #

把等比级数的和代入，再用q=1-p替换掉q：

E[X] = 2p * [1 / (1 - q/2)] = 2p / [ (2 - q)/2 ] = 4p / (2 - q)

替换分母里的q：

E[X] = 4p / (2 - (1 - p)) = 4p / (1 + p)

验证特殊情况 #

• 当p=1（每次试验必成功）：期望收益是4*1/(1+1)=2美元，和题目里首次成功在第1次的收益一致，没问题。
• 当p=0.5：期望收益是4*0.5/(1+0.5)=4/3≈1.333美元，手动计算前几项的和也会趋近这个值，正确。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Rebellos