嘿，这个问题挺常见的，我来一步步给你拆解清楚：

直接给方程两边左乘或右乘B⁻¹都行不通，核心问题是矩阵乘法不满足交换律，而且这么做会丢失关键信息。举个例子：如果你右乘B⁻¹，右边变成$x^T B x B^{{-1}$，这玩意儿没法简化成$x}T x$（除非B和x可交换，但这不是必然的）；如果左乘B⁻¹，左边是$B^{{-1}A$，右边是$B}{-1}x^T B x$，同样没法直接关联到x的简单形式。更关键的是，$x^T x$一定是半正定对称矩阵，但$B^{-1}A$只有当A和B可交换时才是对称的——所以这个操作根本得不到有效的等价方程，完全走不通。

首先得明确：咱们默认A、B都是正定对称矩阵（毕竟只是对角元正的对称矩阵不一定正定，比如$\begin{bmatrix}1&2\2&1\end{bmatrix}$对角元都是1，但有负特征值，这种情况下方程可能无解），下面基于这个前提来解：

1. 对正定矩阵B做平方根分解 #

因为B是对称正定矩阵，它可以分解为对称正定平方根：$B = B^{1/2} B^{{1/2}$，其中$B}{1/2}$是唯一的对称正定矩阵，满足$(B^{1/2})2 = B$。你也可以用Cholesky分解$B = LL^T$（L是下三角正定矩阵），本质上是一回事，都是把B拆成两个相同（或转置）正定矩阵的乘积。

2. 变量替换简化方程 #

把B的平方根分解代入原方程：
$$
A = x^T B x = x^T B^{1/2} B^{1/2} x = (B^{1/2} x)^T (B^{1/2} x)
$$
咱们令$y = B^{1/2} x$，方程瞬间就简化成了：
$$
A = y^T y
$$
是不是清爽多了？

3. 求解y的所有可能形式 #

现在问题转化为找所有方阵y，使得$y^T y = A$。因为A是对称正定矩阵，它有唯一的对称正定平方根$A^{{1/2}$。这里有个关键结论：**对于任意正交矩阵Q（满足$Q}T Q = I$），$y = Q A^{1/2}$都是这个方程的解**。咱们验证一下：
$$
y^T y = (Q A^{1/2})T (Q A^{1/2}) = A^{1/2} Q^T Q A^{1/2} = A^{1/2} I A^{1/2} = A
$$
而且所有满足$y^T y = A$的方阵y都可以表示成这种形式（通过SVD分解就能证明，这里就不展开细节了，记住这个结论就行）。

4. 回代得到x的解 #

因为$y = B^{1/2} x$，两边左乘$B^{{-1/2}$（B正定，所以$B}{-1/2}$存在且也是对称正定矩阵），就得到：
$$
x = B^{-1/2} y = B^{-1/2} Q A^{1/2}
$$
这里Q是任意正交矩阵，也就是说原方程的解有无穷多个，每个正交矩阵Q对应一个解x。

• 如果要求x是对称正定矩阵，那情况会特殊一点：只有当A和B可交换时，才能找到对称正定的x，此时Q取单位矩阵I，$x = (B^{-1}A){1/2}$（因为$B^{{-1}A$是对称正定的，它的平方根就是满足要求的解）。如果A和B不可交换，$B}{-1/2} A^{1/2}$不是对称矩阵，这时候就没有对称正定的x解。
• 如果A或B不是正定矩阵，只是对角元正的对称矩阵，那方程可能无解。比如B有负特征值，$x^T B x$可能会出现负的对角元，但A的对角元都是正的，这时候就不存在这样的x。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Karol Borkowski