你已经走到了关键的第一步——排除轨道大小为9的情况后，轨道只能是1或3。接下来我们可以从忠实作用的核性质和轨道-稳定子定理结合子群交的阶来推导矛盾：

• 第一步：排除轨道大小为1的可能
  假设存在一个轨道(O)满足(|O|=1)，即存在(s\in S)被所有(g\in G)固定（因为轨道只有(s)自己）。此时作用的核(\ker\rho)（其中(\rho:G\to\mathrm{Sym}(S))是作用同态）至少包含整个群(G)，但忠实作用要求(\ker\rho={e})，这就产生了矛盾。因此所有轨道的大小只能是3。

• 第二步：分析3阶轨道的矛盾
  假设(S)被划分为3个大小为3的轨道(O_1,O_2,O_3)。对每个轨道(O_i)，考虑作用在(O_i)上的核(K_i={g\in G\mid g\cdot s=s,\forall s\in O_i})：

  1. 根据轨道-稳定子定理，(G/K_i)同构于(\mathrm{Sym}(O_i))（即(\mathrm{Sym}(3))，阶为6）的子群。由于(|G|=81=3^4)，(|G/K_i|)必须整除(\gcd(81,6)=3)，因此(|K_i|=81)或(27)。
  2. 若(|K_i|=81)，则(K_i=G)，意味着(G)固定(O_i)中所有元素，这会导致核(\ker\rho\supseteq G)，与忠实作用矛盾。因此每个(K_i)都是(G)的27阶子群。
  3. 忠实作用要求(\bigcap_{i=1}^3 K_i=\ker\rho={e})。现在考虑两个27阶子群的交(K_1\cap K_2)：根据群论中的子群交公式，(|K_1\cap K_2|=\frac{|K_1||K_2|}{|K_1K_2|}\geq\frac{27\times27}{81}=9)，即(K_1\cap K_2)至少是9阶子群。
  4. (K_1\cap K_2)中的元素固定(O_1\cup O_2)的所有元素，它们在(O_3)上的作用对应(\mathrm{Sym}(O_3))的子群。但(\mathrm{Sym}(O_3))的阶仅为6，而(|K_1\cap K_2|\geq9)，且(\bigcap K_i={e})意味着(K_1\cap K_2)同构于它在(O_3)上的作用像——这显然不可能，因为子群的阶不能超过母群的阶。

• 结论
  上述矛盾说明我们假设“存在多个轨道”不成立，因此(G)在(S)上的作用只能有一个轨道，即作用是传递的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者El31