咱们先从完全平方数的核心特性聊起：完全平方数的素因数分解中，所有素数的指数都是偶数，所以要得到它的平方根，只需要把每个素因数的指数除以2就行。说白了，任何完全平方数都能写成某个正整数的平方（也就是你提到的“同一个正整数重复两次相乘”），比如$3^4·22$、$2^4$、$34$这些都是典型的完全平方数。

接下来咱们把素数分成两类拆解：

• 偶素数：偶素数只有2，它对应的完全平方相关形式是$2^{2k}=4k$，这里k是正整数。
• 奇素数：所有奇素数都可以表示成$2n+1$（n是正整数），那它的偶数次幂形式就是$(2n+1)^{2k}$，其中k、n都是正整数。

有了这些基础，咱们逐个分析完全平方数除以3、5、6的余数情况：

1. 除以3的余数 #

对于任意正整数m，它除以3的余数只能是0、1、2三种情况：

• 当$m \equiv 0 \pmod{3}$时，$m^2 \equiv 0^2 = 0 \pmod{3}$；
• 当$m \equiv 1 \pmod{3}$时，$m^2 \equiv 1^2 = 1 \pmod{3}$；
• 当$m \equiv 2 \pmod{3}$时，$m^2 \equiv 2^2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$。
  所以完全平方数除以3的余数只能是0或1。

2. 除以5的余数 #

任意正整数m除以5的余数有0、1、2、3、4五种可能：

• $m \equiv 0 \pmod{5}$时，$m^2 \equiv 0 \pmod{5}$；
• $m \equiv 1 \pmod{5}$时，$m^2 \equiv 1 \pmod{5}$；
• $m \equiv 2 \pmod{5}$时，$m^2 \equiv 4 \pmod{5}$；
• $m \equiv 3 \pmod{5}$时，$m^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5}$；
• $m \equiv 4 \pmod{5}$时，$m^2 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5}$。
  因此完全平方数除以5的余数只能是0、1或4。

3. 除以6的余数 #

咱们先看任意正整数m除以6的余数：0、1、2、3、4、5，逐个计算平方后的余数：

• $m \equiv 0 \pmod{6}$时，$m^2 \equiv 0 \pmod{6}$；
• $m \equiv 1 \pmod{6}$时，$m^2 \equiv 1 \pmod{6}$；
• $m \equiv 2 \pmod{6}$时，$m^2 \equiv 4 \pmod{6}$；
• $m \equiv 3 \pmod{6}$时，$m^2 \equiv 9 \equiv 3 \pmod{6}$；
• $m \equiv 4 \pmod{6}$时，$m^2 \equiv 16 \equiv 4 \pmod{6}$；
• $m \equiv 5 \pmod{6}$时，$m^2 \equiv 25 \equiv 1 \pmod{6}$。
  所以完全平方数除以6的余数只能是0、1、3或4。

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