嘿，我来帮你搞定这个对易式的推导——你卡住的核心问题是没把算符的作用对象（波函数）加进来，单独摆弄算符符号很容易踩坑！我们用任意一个可微的波函数$\psi(x)$来辅助推导，一步步来：

1. 回忆对易式的完整定义 #

量子力学里的算符必须作用在波函数上才能体现意义，对易式的完整定义是：对于任意波函数$\psi(x)$，有
$$[\hat{A}, \hat{B}]\psi(x) = \hat{A}\hat{B}\psi(x) - \hat{B}\hat{A}\psi(x)$$
所以我们要计算$[\hat{x}, \hat{p}]$，就得让它作用在$\psi(x)$上，看最终结果是什么。

2. 分别计算对易式的两项 #

第一项：$\boldsymbol{\hat{x}\hat{p}\psi(x)}$ #

根据$\hat{x}=x$、$\hat{p}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$的定义，直接代入：
$$\hat{x}\hat{p}\psi(x) = x \cdot \left(-i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial x}\right) = -i\hbar x \frac{d\psi}{dx}$$

第二项：$\boldsymbol{\hat{p}\hat{x}\psi(x)}$ #

这里是关键！$\hat{p}\hat{x}$的顺序是先让$\hat{x}$作用在$\psi(x)$上得到$x\psi(x)$，再让$\hat{p}$作用在这个结果上，所以必须用乘积求导法则：
$$\hat{p}\hat{x}\psi(x) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\left(x \cdot \psi(x)\right)$$
展开导数后：
$$= -i\hbar \left( \frac{\partial x}{\partial x}\cdot\psi(x) + x \cdot \frac{\partial \psi}{\partial x} \right) = -i\hbar \left( \psi(x) + x \frac{d\psi}{dx} \right)$$

3. 两项相减得到最终结果 #

把上面的两项代入对易式：
$$
\begin{align*}
[\hat{x}, \hat{p}]\psi(x) &= \hat{x}\hat{p}\psi(x) - \hat{p}\hat{x}\psi(x) \
&= (-i\hbar x \frac{d\psi}{dx}) - \left( -i\hbar \psi(x) - i\hbar x \frac{d\psi}{dx} \right) \
&= -i\hbar x \frac{d\psi}{dx} + i\hbar \psi(x) + i\hbar x \frac{d\psi}{dx}
\end{align*}
$$
你会发现，含$\frac{d\psi}{dx}$的两项完全抵消，剩下：
$$[\hat{x}, \hat{p}]\psi(x) = i\hbar \psi(x)$$

4. 得到算符层面的等式 #

因为$\psi(x)$是任意的可微波函数，这意味着$[\hat{x}, \hat{p}]$作用在任何波函数上，都等于$i\hbar$乘以该波函数。所以我们可以直接写出算符层面的等式：
$$[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar$$

对你之前推导的纠正 #

你之前的步骤里，错误地把$\hat{p}\hat{x}$当成了$(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x})x$单独运算，但实际上算符是要作用在波函数上的，不能脱离波函数直接对$x$求导。必须记住：算符的本质是“变换波函数”，一定要把波函数加进来，才能正确运用求导法则！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ben