嘿，这两个拓扑学命题其实核心是第二个，第一个只是它的直接推论，我给你拆解下证明思路：

先搞定核心：命题2的证明 #

首先得明确零伦映射的定义：一个连续映射 $f: S^1 \to X$ 是零伦的，当且仅当它同伦于某个常值映射——换句话说，存在连续的同伦 $H: S^1 \times [0,1] \to X$，满足：

• 对所有 $x \in S^1$，$H(x,0) = f(x)$（初始时刻完全等于原映射）
• 对所有 $x \in S^1$，$H(x,1) = c$（终时刻映射到 $X$ 里某个固定点 $c$）

现在假设命题2的前提成立：$f$ 可以延拓为连续映射 $\tilde{f}: D^2 \to X$，也就是 $\tilde{f}$ 在 $S^1$（$D2$ 的边界）上的限制就是 $f$，即 $\tilde{f}|_{S^1} = f$。

接下来构造关键的同伦 $H$：
对于任意 $x \in S^1$ 和 $t \in [0,1]$，定义：
$$H(x,t) = \tilde{f}\left( (1-t)x + t \cdot 0 \right)$$
简单说，这个操作就是把 $S^1$ 上的点 $x$ 沿着从 $x$ 到 $D^2$ 原点的线段慢慢收缩，然后用延拓后的 $\tilde{f}$ 把这个收缩过程映射到 $X$ 中。

现在验证这个 $H$ 满足零伦的要求：

1. 连续性：$\tilde{f}$ 本身是连续的，而映射 $(x,t) \mapsto (1-t)x + t \cdot 0$ 是从 $S^1 \times [0,1]$ 到 $D^2$ 的连续映射（线性组合的连续性保证），所以复合后的 $H$ 必然连续。
2. 初始条件：当 $t=0$ 时，$H(x,0) = \tilde{f}(x) = f(x)$，完全符合初始时刻的要求。
3. 终值条件：当 $t=1$ 时，$H(x,1) = \tilde{f}(0)$，这是一个和 $x$ 无关的固定点，也就是常值映射。

这样就证明了 $f$ 同伦于常值映射，即 $f$ 是零伦的。

命题1的证明：直接推论 #

命题1说“所有连续映射 $f: S^1 \to X$ 均可延拓为 $D^2 \to X$，则 $f$ 是零伦的”——这其实就是命题2的直接结果：因为对于任意这样的 $f$，它都满足命题2的前提（能延拓到 $D^2$），所以每个 $f$ 都必然是零伦的，命题1自然成立。

额外补充 #

这里的核心思路是利用圆盘 $D^2$ 的可缩性：$D^2$ 可以连续收缩到它的原点，而延拓后的映射 $\tilde{f}$ 把这个收缩过程“传递”到了空间 $X$ 中，从而得到了 $f$ 的零伦同伦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jfruizc273