嘿，你找对方向了（共轭思路的延伸），但这里得换用立方差公式来处理，这是突破点！

核心公式回忆 #

先记住这个关键等式，它是处理这类三次根式分母的神器：

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

变形一下就是：

1/(a² + ab + b²) = (a - b)/(a³ - b³)

因为你每一项的分母正好是a² + ab + b²的形式，用这个变形就能把分母的根式消掉，转化成分子的差。

逐项拆解每一项 #

我们来对应每一项的分母，把它们套进上面的公式：

• 第一项：分母是∛1 + ∛2 + ∛4，可以改写为(∛1)² + ∛1·∛2 + (∛2)²，对应公式里的a=∛2，b=∛1。代入变形后的公式：

  1/(∛1 + ∛2 + ∛4) = (∛2 - ∛1)/( (∛2)³ - (∛1)³ ) = (∛2 - 1)/(2 - 1) = ∛2 - 1
  

• 第二项：分母是∛4 + ∛6 + ∛9，改写为(∛2)² + ∛2·∛3 + (∛3)²（因为∛6=∛(2×3)=∛2·∛3，∛9=(∛3)²），对应a=∛3，b=∛2：

  1/(∛4 + ∛6 + ∛9) = (∛3 - ∛2)/(3 - 2) = ∛3 - ∛2
  

• 第三项：分母是∛9 + ∛12 + ∛16，改写为(∛3)² + ∛3·∛4 + (∛4)²（∛12=∛(3×4)=∛3·∛4，∛16=(∛4)²），对应a=∛4，b=∛3：

  1/(∛9 + ∛12 + ∛16) = (∛4 - ∛3)/(4 - 3) = ∛4 - ∛3
  

最后合并化简 #

把三项加起来，你会发现中间的项都抵消了：

(∛2 - 1) + (∛3 - ∛2) + (∛4 - ∛3) = ∛4 - 1

也就是最终结果可以写成∛4 - 1或者2^(2/3) - 1。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者QuIcKmAtHs