咱们先明确前提：调和级数的前n项和可以表示为
$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \frac{s_n}{t_n}$$
这里的$s_n$和$t_n$是互质的整数。现在咱们要搞清楚的是：能不能建立起$s_n、t_n、s_{n+1}、t_{n+1}$之间的归纳关系？

首先，先写出前n+1项和与前n项和的差：

两者的差满足：
$$ S = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \frac{(n+1)s_n+t_n}{t_n(n+1)} $$

而当前的核心问题，就是要证明这个表达式$S$的分子和分母是互质的。下面咱们用反证法来推导：

假设存在一个质数$p$，它同时整除分子$(n+1)s_n + t_n$和分母$t_n(n+1)$。那分两种情况讨论：

• 情况1：$p$整除$t_n$
  因为$s_n$和$t_n$互质，所以$p$肯定不整除$s_n$。如果$p$整除$t_n$，那咱们看分子：$(n+1)s_n + t_n \equiv (n+1)s_n \pmod{p}$（因为$t_n \equiv 0 \pmod{p}$）。
  现在假设$p$还能整除分子，那$(n+1)s_n \equiv 0 \pmod{p}$，但$p$不整除$s_n$，所以$p$必须整除$n+1$。但$p$是$t_n$的质因子，意味着$p \leq n$（因为$t_n$是前n项调和和的最简分母，质因子都来自1到n的数），而$p \leq n$且$p$整除$n+1$的话，会得出$p$整除$(n+1)-n=1$，这显然不可能。所以这种情况不成立。

• 情况2：$p$整除$n+1$
  此时$p$肯定不整除$t_n$——如果$p$是质数，那$p=n+1 > n$，而$t_n$的质因子都≤n，所以两者互质；如果$p$是合数，它的质因子都≤$\frac{n+1}{2} \leq n$，但这些质因子要是整除$n+1$，就会整除$(n+1)-n=1$，同样矛盾。
  那看分子：$(n+1)s_n + t_n \equiv t_n \pmod{p}$（因为$(n+1)s_n \equiv 0 \pmod{p}$），而$p$不整除$t_n$，所以分子不可能被$p$整除，这种情况也不成立。

两种情况都导出矛盾，说明不存在这样的质数$p$，也就是说分子$(n+1)s_n + t_n$和分母$t_n(n+1)$是互质的。

这样一来，我们就能直接得到归纳关系了：
$$\frac{s_{n+1}}{t_{n+1}} = \frac{s_n}{t_n} + \frac{1}{n+1} = \frac{(n+1)s_n + t_n}{t_n(n+1)}$$
因为分子分母互质，所以对应可得：
$$s_{n+1} = (n+1)s_n + t_n$$
$$t_{n+1} = t_n(n+1)$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SAM