嘿，我来帮你理清这个问题～你的导数计算完全没问题，但在解导数等于零这一步的思路走偏啦，我给你一步步拆解：

首先明确：水平切线的核心条件是导数等于0，但你之前用零因子法则拆分两项分别等于0的思路不对——因为$\frac{1}{\sqrt{x}}$和$\frac{1}{2x\sqrt{x}}$这两个分式的分子都是非零常数，只要x在原函数的定义域（$x>0$）内，这两个式子永远不可能等于0。正确的做法是把导数通分成一个单一分式，再利用“分式为0当且仅当分子为0且分母不为0”的规则来解。

步骤1：给导数通分 #

你的导数是：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2x\sqrt{x}}$$
我们找公分母$2x\sqrt{x}$，将两项合并：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{2x\sqrt{x}} - \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{2x - 1}{2x\sqrt{x}}$$

步骤2：令导数等于0，求解x #

要让$\frac{2x - 1}{2x\sqrt{x}} = 0$，观察分母：当$x>0$时，$2x\sqrt{x}$必然是正数，不可能为0。所以只需要让分子等于0即可：
$$2x - 1 = 0$$
解得：
$$x = \frac{1}{2}$$

步骤3：代入原函数求对应的y值 #

把$x=\frac{1}{2}$代入原曲线方程$y = 2\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$：
$$y = 2\sqrt{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}}} = 2\times\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$

最终结论 #

曲线$y = 2\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$的水平切线切点为$\boldsymbol{(\frac{1}{2}, 2\sqrt{2})}$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Anjali