嘿，我来帮你理清这个问题！

首先直接解决你的疑惑：在映射$F: C[0,1] \to C[0,1]$中，$x$是$C[0,1]$中的任意连续函数，$x(0)$是函数$x$在$t=0$处的取值，它不是固定常数——当你取不同的$x \in C[0,1]$时，$x(0)$会跟着变化。比如：

• 取$x_1(t)=t^2$，则$x_1(0)=0$，对应的$F(x_1)(t)=0 + \lambda \int_{0}^{t} s^2 ds = \frac{\lambda t^3}{3}$；
• 取$x_2(t)=1+\sin t$，则$x_2(0)=1$，对应的$F(x_2)(t)=1 + \lambda \int_{0}^{t} (1+\sin s) ds = 1 + \lambda(t - \cos t + 1)$。

这里需要指出：这个映射$F$并不是压缩映射，原因如下：
压缩映射的定义是：存在常数$k \in [0,1)$，使得对任意$x,y \in C[0,1]$，都有$|F(x) - F(y)|\infty \leq k|x - y|\infty$（其中$|f|\infty = \sup{t \in [0,1]} |f(t)|$是上确界范数）。

我们取两个常数函数$x(t)=a$，$y(t)=b$（$a \neq b$），则：

• $|x - y|_\infty = |a - b|$；
• $F(x)(t)=a + \lambda \int_{0}^{t} a ds = a(1 + \lambda t)$，$F(y)(t)=b(1 + \lambda t)$；
• $|F(x) - F(y)|\infty = |a - b| \cdot \sup{t \in [0,1]} |1 + \lambda t| = |a - b|(1 + |\lambda|)$。

因为$|\lambda| < 1$，所以$1 + |\lambda| > 1$，这意味着不存在这样的$k < 1$满足压缩映射的条件。

不过如果把映射修改为$F(x)(t)=c + \lambda \int_{0}^{t} x(s) ds$（其中$c$是固定常数），那么它就是压缩映射：
此时$|F(x)-F(y)|\infty = |\lambda| \cdot \sup{t \in [0,1]} \left|\int_{0}^{t} (x(s)-y(s)) ds\right| \leq |\lambda| \cdot \sup_{t \in [0,1]} t|x-y|\infty \leq |\lambda||x-y|\infty$，而$|\lambda| < 1$，完全满足压缩映射的定义。

虽然$F$不是压缩映射，但我们可以寻找它的不动点，即满足$F(x)=x$的函数$x \in C[0,1]$，也就是：
$$x(t) = x(0) + \lambda \int_{0}^{t} x(s) ds, \quad t \in [0,1]$$

这是一个积分方程，我们可以通过求导转化为微分方程：
对等式两边关于$t$求导，得$x'(t) = \lambda x(t)$，且初始条件为$x(0)=c$（$c$是任意实数）。

解这个微分方程，得到通解为$x(t)=c e^{\lambda t}$。我们可以验证它确实是不动点：
$$F(x)(t)=x(0) + \lambda \int_{0}^{t} c e^{\lambda s} ds = c + c\lambda \cdot \frac{e^{\lambda t} - 1}{\lambda} = c e^{\lambda t} = x(t)$$

所以$F$的所有不动点都是形如$x(t)=c e^{\lambda t}$（$c \in \mathbb{R}$）的指数函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sujit Bhattacharyya