首先我们把目标不等式做代数变形，设 ( S_a = \sum_{i=1}^n a_i )，( S_b = \sum_{i=1}^n b_i )（题目已给出 ( S_b \neq 0 )）。原不等式：
$$
\frac{\sum_{i=1}^n w_i a_i}{\sum_{i=1}^n w_i b_i} > \frac{S_a}{S_b}
$$

将其通分整理（注意分母符号的影响），等价于：
$$
\left( \sum_{i=1}^n w_i a_i \right) S_b - \left( \sum_{i=1}^n w_i b_i \right) S_a > 0 \quad \text{当 } \left( \sum_{i=1}^n w_i b_i \right) S_b > 0
$$
或者
$$
\left( \sum_{i=1}^n w_i a_i \right) S_b - \left( \sum_{i=1}^n w_i b_i \right) S_a < 0 \quad \text{当 } \left( \sum_{i=1}^n w_i b_i \right) S_b < 0
$$

令 ( c_i = a_i S_b - b_i S_a )，则左边的差可以写成 ( \sum_{i=1}^n w_i c_i )，并且容易验证 ( \sum_{i=1}^n c_i = S_b S_a - S_a S_b = 0 )。

现在分两种核心情况讨论：

情况1：所有 ( c_i = 0 ) #

此时对任意 ( i )，( a_i S_b = b_i S_a )，即 ( a_i = k b_i )（其中 ( k = \frac{S_a}{S_b} )）。代入原不等式左边：
$$
\frac{\sum_{i=1}^n w_i a_i}{\sum_{i=1}^n w_i b_i} = \frac{k \sum_{i=1}^n w_i b_i}{\sum_{i=1}^n w_i b_i} = k = \frac{S_a}{S_b}
$$
此时不等式严格不成立，不存在满足条件的正实数 ( w_1, \dots, w_n )。

情况2：存在至少一个 ( c_i \neq 0 ) #

由于 ( \sum_{i=1}^n c_i = 0 )，必然同时存在 ( c_p > 0 ) 和 ( c_q < 0 ) 的下标 ( p, q )。我们可以通过构造正权值 ( w_i ) 满足目标不等式：

• 取 ( w_p = 1 )，( w_q = \varepsilon )（( \varepsilon ) 是一个足够小的正实数），其余 ( w_i = 1 )。
• 计算 ( \sum_{i=1}^n w_i c_i = c_p + \varepsilon c_q + \sum_{i \neq p,q} c_i = (c_p + \sum_{i \neq p,q} c_i) + \varepsilon c_q = -c_q + \varepsilon c_q = c_q (\varepsilon - 1) )。因为 ( c_q < 0 ) 且 ( \varepsilon - 1 < 0 )，所以这个和大于0。
• 再调整 ( \varepsilon ) 的大小，使得 ( \sum_{i=1}^n w_i b_i ) 与 ( S_b ) 同号：比如若 ( S_b > 0 )，取 ( \varepsilon ) 足够小，保证 ( \sum_{i=1}^n w_i b_i = S_b + (\varepsilon - 1) b_q > 0 )，此时分母乘积为正，原不等式成立。

这种构造方式利用了加权和的“偏向性”：通过放大对应 ( c_i > 0 ) 的项的权重，缩小对应 ( c_i < 0 ) 的项的权重，让加权后的分子分母比值超过原算术平均比值。

特殊情形补充 #

当 ( S_a = 0 ) 时，原不等式变为 ( \frac{\sum w_i a_i}{\sum w_i b_i} > 0 )。由于 ( a_i ) 不全为零且 ( \sum a_i = 0 )，必然有正有负的 ( a_i )，只需给正 ( a_i ) 分配足够大的权重，负 ( a_i ) 分配足够小的正权重，就能让分子为正，再结合 ( S_b \neq 0 ) 调整权重保证分母与 ( S_b ) 同号，即可满足不等式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Yes