求偏置硬币中连续三次正面先于三次反面出现的概率
其实思路和你熟悉的连续两次的情况完全一致，只是需要定义更多的中间状态来跟踪当前的连续结果，一步步推导就好啦～
第一步：定义状态
我们先定义几个关键状态，用来描述当前抛掷后的“连续趋势”：
- ( S_0 )：初始状态（还没有连续相同的结果，或者说上一次结果和之前的不连续）
- ( S_H )：最后一次抛掷结果是正面（当前连续1次正面）
- ( S_{HH} )：最后两次抛掷都是正面（当前连续2次正面）
- ( S_T )：最后一次抛掷结果是反面（当前连续1次反面）
- ( S_{TT} )：最后两次抛掷都是反面（当前连续2次反面）
我们要求的是初始状态下，连续三次正面先出现的概率，记为 ( P_0 = P(A | S_0) )，同时定义：
- ( P_H = P(A | S_H) )：当前最后一次是正面时，最终成功的概率
- ( P_{HH} = P(A | S_{HH}) )：当前连续两次正面时，最终成功的概率
- ( P_T = P(A | S_T) )：当前最后一次是反面时，最终成功的概率
- ( P_{TT} = P(A | S_{TT}) )：当前连续两次反面时，最终成功的概率
- ( q = 1-p )：硬币出现反面的概率
第二步：写出状态转移方程
根据每个状态下的抛掷结果，我们可以写出对应的概率转移方程：
状态( S_{HH} )：已经连续两次正面，再抛一次：
- 正面（概率( p )）：直接成功（概率1）
- 反面（概率( q )）：进入状态( S_T )
$$ P_{HH} = p \times 1 + q \times P_T $$
状态( S_H )：最后一次是正面，再抛一次：
- 正面（概率( p )）：进入状态( S_{HH} )
- 反面（概率( q )）：进入状态( S_T )
$$ P_H = p \times P_{HH} + q \times P_T $$
状态( S_0 )：初始状态，第一次抛：
- 正面（概率( p )）：进入状态( S_H )
- 反面（概率( q )）：进入状态( S_T )
$$ P_0 = p \times P_H + q \times P_T $$
状态( S_{TT} )：已经连续两次反面，再抛一次：
- 反面（概率( q )）：直接失败（概率0）
- 正面（概率( p )）：进入状态( S_H )
$$ P_{TT} = p \times P_H + q \times 0 = p P_H $$
状态( S_T )：最后一次是反面，再抛一次：
- 反面（概率( q )）：进入状态( S_{TT} )
- 正面（概率( p )）：进入状态( S_H )
$$ P_T = p \times P_H + q \times P_{TT} $$
第三步：联立方程求解
现在我们把这些方程逐步代入化简：
先把方程4代入方程5，得到( P_T )的表达式：
$$ P_T = p P_H + q \cdot p P_H = p P_H (1 + q) $$
因为( q=1-p )，所以( 1+q=2-p )，也可以写成( P_T = p P_H (2-p) )把( P_T )代入方程1，得到( P_{HH} )的表达式：
$$ P_{HH} = p + q \cdot p P_H (2-p) $$再把( P_{HH} )和( P_T )代入方程2：
$$ P_H = p \left( p + q p P_H (2-p) \right) + q \cdot p P_H (2-p) $$
展开并合并同类项：
$$ P_H = p^2 + p^2 q (2-p) P_H + p q (2-p) P_H $$
$$ P_H = p^2 + p q (2-p) (p + 1) P_H $$把含( P_H )的项移到左边，解出( P_H )：
$$ P_H \left[ 1 - p q (2-p)(p+1) \right] = p^2 $$
代入( q=1-p )，化简分母：
$$ 1 - p(1-p)(2-p)(1+p) = 1 - p(1-p^2)(2-p) = 1 - (2p - p^2 - 2p^3 + p^4) = -p^4 + 2p^3 + p^2 - 2p + 1 $$
所以：
$$ P_H = \frac{p2}{-p4 + 2p^3 + p^2 - 2p + 1} $$接下来把( P_H )代入( P_T )的表达式，再代入方程3，就能得到我们要的( P_0 )：
$$ P_0 = p \cdot \frac{p^2}{D} + q \cdot \frac{p^3(2-p)}{D} $$
其中( D = -p^4 + 2p^3 + p^2 - 2p + 1 )，合并分子：
$$ P_0 = \frac{p^3 + (1-p)p^3(2-p)}{D} = \frac{p^3(1 + (1-p)(2-p))}{D} $$
化简分子里的括号部分：
$$ 1 + (1-p)(2-p) = 1 + 2 - 3p + p^2 = p^2 - 3p + 3 $$最终得到：
$$ P(A) = \frac{p3(p2 - 3p + 3)}{-p^4 + 2p^3 + p^2 - 2p + 1} $$
验证特殊情况
我们可以用几个特殊值验证这个结果是否合理：
- 当( p=1 )（硬币永远正面）：代入得( P(A)=1 )，符合预期
- 当( p=0 )（硬币永远反面）：代入得( P(A)=0 )，符合预期
- 当( p=0.5 )（公平硬币）：代入分子( (0.5)3((0.5)2 -30.5 +3)= (1/8)(1/4 - 3/2 +3)=7/32 )，分母( -(0.5)^4 +2(0.5)^3 +(0.5)^2 -2*(0.5)+1=7/16 )，所以( P(A)= (7/32)/(7/16)=0.5 )，符合对称情况的预期
内容的提问来源于stack exchange，提问作者user531716
