嘿，这个问题问到点子上了！在分式极限里直接倒置后运算可不是随便能用的，得看原分式的极限状态来分情况讨论，我给你掰扯清楚：

情况1：原分式极限存在且不为0 #

这种情况下，倒置后的分式极限完全存在，而且刚好是原极限的倒数，操作完全可行。

举个直观的例子：$\lim_{x \to 3} \frac{x-1}{x+2} = \frac{2}{5}$，倒置后$\lim_{x \to 3} \frac{x+2}{x-1} = \frac{5}{2}$，正好是原极限的倒数。

证明 #

假设$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = L$（$L \neq 0$），因为原极限存在且不为0，所以$\lim_{x \to a} g(x)$必然不为0（否则原分式极限要么是无穷大要么不存在），同时$\lim_{x \to a} f(x) = L \cdot \lim_{x \to a} g(x)$也不为0。

根据极限的除法四则运算法则：
$$\lim_{x \to a} \frac{g(x)}{f(x)} = \frac{\lim_{x \to a} g(x)}{\lim_{x \to a} f(x)} = \frac{\lim g(x)}{L \cdot \lim g(x)} = \frac{1}{L}$$

如果用更严谨的$\epsilon-\delta$定义：
对于任意$\epsilon > 0$，因为$\lim \frac{f}{g}=L \neq 0$，总能找到$\delta > 0$，当$0<|x-a|<\delta$时，$|\frac{f(x)}{g(x)} - L| < \min\left(\frac{|L|}{2}, \frac{\epsilon |L|^2}{2}\right)$。此时$|\frac{f(x)}{g(x)}| > |L| - \frac{|L|}{2} = \frac{|L|}{2}$，代入推导：
$$\left|\frac{g(x)}{f(x)} - \frac{1}{L}\right| = \frac{1}{|L| \cdot \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|} \cdot \left|\frac{f(x)}{g(x)} - L\right| < \frac{1}{|L| \cdot \frac{|L|}{2}} \cdot \frac{\epsilon |L|^2}{2} = \epsilon$$
完全符合极限定义，因此$\lim \frac{g}{f} = \frac{1}{L}$。

情况2：原分式极限为0 #

这时候倒置后的分式极限是无穷大（至于是正无穷还是负无穷，要看原分式趋近于0时的符号），操作也有明确的结果。

比如$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x^2 + 1} = 0$，倒置后$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 1}{x}$，当x从右侧趋近0时趋向$+\infty$，左侧趋近时趋向$-\infty$，整体极限为$\infty$。

证明 #

假设$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$，且在a的某个去心邻域内$g(x) \neq 0$、$f(x) \neq 0$（否则倒置后的分式无意义）。

对于任意大的正数$M$，总能找到$\delta > 0$，当$0<|x-a|<\delta$时，$\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| < \frac{1}{M}$，倒置后就是$\left|\frac{g(x)}{f(x)}\right| > M$，这正好符合无穷大的定义。

情况3：原分式极限不存在且不为无穷大 #

这种情况下，倒置后的分式通常没有极限，甚至可能在很多点上无定义，操作不可行。

举两个例子：

• $\lim_{x \to \infty} \sin x$：这个极限不存在也不是无穷大，倒置后$\frac{1}{\sin x}$会因为$\sin x$不断取0而频繁无定义，根本不存在极限；
• 数列极限$\lim_{n \to \infty} [1 + (-1)^n]$：极限不存在（交替取2和0），倒置后$\frac{1}{1 + (-1)^n}$在n为奇数时无定义，偶数时取1/2，极限也不存在。

总结 #

一句话概括：

• 原分式极限存在且不为0：倒置可行，极限为原极限的倒数；
• 原分式极限为0：倒置后极限为无穷大（注意符号）；
• 原分式极限不存在且非无穷大：倒置后通常无极限或无定义。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者LearningMath