嘿，我来帮你理清楚怎么分解这个三次多项式，刚好对应上你老师提到的用α、β和二次公式的方法～咱们一步步来：

1. 先简化多项式形式 #

原多项式是 p(x) = -x³ -x +1，先把它改写为 p(x) = -(x³ + x -1)，这样我们只需要处理首一的三次多项式 f(x) = x³ + x -1 就好，最后再把负号加回去。

2. 标记实根α #

三次方程至少有一个实根，咱们来确认这个实根的存在：

• 当x=0时，f(0)=0+0-1=-1；当x=1时，f(1)=1+1-1=1
• 根据中间值定理，在区间(0,1)之间肯定有一个实根，我们把这个实根记作α。这个α是无理数，没法用简单的整数/分数表示，所以咱们就用α这个符号代替它就好（这就是你老师用α的原因）。

从f(α)=0，我们还能得到一个有用的等式：α³ + α -1 = 0，也就是 α³ = 1 - α，后面化简的时候会用到这个。

3. 分解为一次式 + 二次式 #

我们可以把f(x)分解成一次式乘二次式的形式：
f(x) = (x - α)(x² + px + q)
把右边展开：x³ + (p - α)x² + (q - αp)x - αq
和左边f(x)=x³ + 0x² +1x -1对比系数，就能解出p和q：

• 二次项系数：p - α = 0 → p = α
• 一次项系数：q - αp = 1 → 代入p=α，得q = α² + 1
• 常数项验证：-αq = -1 → 代入q=α²+1，得α(α²+1)=α³+α=1，刚好符合α³=1-α，所以成立。

所以f(x)=(x - α)(x² + αx + α² +1)，原多项式p(x)=-(x - α)(x² + αx + α² +1)。

4. 用二次公式求二次式的根（β和γ） #

现在看这个二次式x² + αx + α² +1，如果要分解到复系数的一次式，就可以用二次公式求根，这就是你老师提到的β（和它的共轭复根γ）：
β = [-α + √(α² - 4*(α² +1))]/2 = [-α + √(-3α² -4)]/2
γ = [-α - √(-3α² -4)]/2
这两个是共轭复根，因为根号里的结果是负数。不过在实系数的部分分式分解里，其实你不需要把它们拆出来，直接保留二次式的形式就足够了。

5. 部分分式分解的实际应用 #

比如如果要对1/p(x)做部分分式分解，就可以写成：
1/[-(x³ +x -1)] = A/(x - α) + (Bx + C)/(x² + αx + α² +1)
然后通过通分、对比分子的系数，就能求出A、B、C的值，过程中可以用α³=1-α来化简表达式，最终得到的系数都是用α表示的常数，不需要算出α的具体数值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user524037