问题1：依分布收敛是否意味着极限几乎处处有限？ #

答案是否定的。依分布收敛只关注随机变量序列的分布函数收敛行为，完全不涉及样本路径上的收敛性——它甚至不能保证序列本身几乎处处收敛，更不用说极限是否有限了。依分布收敛的定义是序列的分布函数在极限分布的连续点处逐点收敛，这和随机变量在每个样本点上的取值趋势没有直接关联。

问题2：若$x_n\overset{d}{\to}N(0,1)$，是否有$P(\lim_{n\to\infty}x_n<\infty)=1$？ #

这个结论不成立，我们可以通过反例和理论分析来说明：

反例构造

考虑概率空间$([0,1],\mathcal{B}[0,1],Leb)$，定义独立事件$A_n$满足$P(A_n)=1/n$，再令$Z$是标准正态随机变量，且与所有$A_n$独立。定义：
$$x_n = \sqrt{n} \cdot I_{A_n} + Z$$
其中$I_{A_n}$是$A_n$的指示函数。

• 依分布收敛验证：$P(x_n \leq t) = P(A_n)P(\sqrt{n} \leq t) + P(A_n^c)P(Z \leq t)$。当$n\to\infty$时，$P(A_n)\to0$，因此$P(x_n \leq t)\to P(Z \leq t)$，即$x_n\overset{d}{\to}N(0,1)$。
• 样本路径分析：由Borel-Cantelli引理，因为$\sum_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$且事件独立，所以$P(A_n \text{ 无限次发生})=1$。这意味着几乎处处存在无穷多个$n$使得$x_n=\sqrt{n}$，因此$\limsup_{n\to\infty}x_n=\infty$ a.s.，极限不存在（更不可能有限），故$P(\lim x_n<\infty)=0$。

针对中心极限定理场景的补充

对于$x_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n y_i$（$y_i$为i.i.d. 0均值1方差随机变量），虽然CLT给出$x_n\overset{d}{\to}N(0,1)$，但样本路径的极限行为由重对数律描述：
$$\limsup_{n\to\infty}\frac{x_n}{\sqrt{2\log\log n}}=1 \quad \text{a.s.}$$
$$\liminf_{n\to\infty}\frac{x_n}{\sqrt{2\log\log n}}=-1 \quad \text{a.s.}$$
这说明$x_n$会在正负无穷之间振荡，且振幅随$\sqrt{\log\log n}$增长，因此$\lim_{n\to\infty}x_n$几乎处处不存在，自然$P(\lim x_n<\infty)=0$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bayesric