先明确基本定义 #

• 首达时$H_a$：$H_a = \inf{t ≥ 0 : B_t = a}$，这里$B_t$是标准布朗运动（满足$B_0=0$、连续样本路径、独立增量、正态分布等核心性质）。
• 停时$H_a∧H_b$：其实就是布朗运动首次到达$a$或$b$的时间，也就是$\min(H_a, H_b)$。我们要找的就是这个停时刻对应的布朗运动取值$B_{H_a∧H_b}$的分布。

回顾可选停时定理的关键适用条件 #

咱们用的是这个实用版本的可选停时定理：

设$(X_t)_{t≥0}$是具有连续样本路径的一致可积鞅，$T$是一个停时，若$X_T$可积，那么$E[X_T] = E[X_0]$。
特别地，对于有界停时（存在常数$M$使得$T≤M$几乎必然），这个结论直接成立，因为有界停时对应的停时鞅天然满足一致可积性。

步骤1：选对合适的鞅 #

标准布朗运动本身$(B_t)_{t≥0}$就是一个鞅，而且它的样本路径连续，完美匹配定理的基础要求。

步骤2：验证停时满足定理条件 #

直接用$H_a∧H_b$当停时的话，它不是有界的，但我们可以用有界停时近似的技巧：定义$T_n = H_a∧H_b∧n$，也就是把停时截断在$n$时刻。显然$T_n$是有界停时（$T_n ≤n$），所以对$T_n$直接应用可选停时定理：
$$E[B_{T_n}] = E[B_0] = 0$$

接下来让$n→∞$：因为标准布朗运动是常返的，它一定会在有限时间内到达$a$或$b$（不可能一直卡在$(a,b)$区间里），所以$P(\lim_{n→∞}T_n = H_a∧H_b)=1$。同时，$|B_{T_n}| ≤ \max(|a|, b)$，这是个有界量，根据控制收敛定理，我们可以交换期望和极限的顺序：
$$E[B_{H_a∧H_b}] = \lim_{n→∞}E[B_{T_n}] = 0$$

步骤3：推导最终分布 #

注意到$B_{H_a∧H_b}$只能取两个值：$a$或者$b$——毕竟停时$H_a∧H_b$就是布朗运动首次碰到$a$或$b$的时刻，此时$B_t$要么等于$a$，要么等于$b$，没有其他可能。

设$P(B_{H_a∧H_b}=a) = p$，那么$P(B_{H_a∧H_b}=b) = 1-p$。根据期望的定义：
$$E[B_{H_a∧H_b}] = p \cdot a + (1-p) \cdot b = 0$$

解这个方程求$p$：
$$p \cdot a + b - p \cdot b = 0 \ p(a - b) = -b \ p = \frac{b}{b - a}$$

而$1-p = \frac{-a}{b - a} = \frac{|a|}{b - a}$（因为$a<0$，所以$|a|=-a$）。

结论 #

$B_{H_a∧H_b}$服从两点分布：

• 以概率$\frac{b}{b - a}$取到值$a$；
• 以概率$\frac{|a|}{b - a}$取到值$b$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者asdf