首先我们可以通过Jordan标准型来推导矩阵的秩，因为矩阵的秩和它的Jordan标准型秩完全相等，下面一步步拆解分析：

核心概念铺垫 #

• 对于非零特征值$\lambda \neq 0$，对应的Jordan块$J_k(\lambda)$是可逆矩阵，它的秩就等于块的阶数$k$；
• 对于零特征值，对应的Jordan块$J_k(0)$的秩为$k-1$，且每个这样的块对应1个线性无关的特征向量；
• 极小多项式里每个特征值的指数，等于该特征值对应的最大Jordan块的阶数，这是我们确定Jordan块结构的关键约束。

分特征值拆解Jordan块结构 #

1. 特征值$\boldsymbol{-1}$（代数重数5）
   极小多项式中$(x+1)^3$说明这个特征值对应的最大Jordan块阶数是3，结合代数重数5，唯一符合的Jordan块组合是$3+2$（两个块，阶数分别为3和2）。这两个块都是可逆的，所以它们的秩之和是$3+2=5$。

2. 特征值$\boldsymbol{1}$（代数重数3）
   极小多项式中$(x-1)^2$说明这个特征值对应的最大Jordan块阶数是2，结合代数重数3，唯一符合的Jordan块组合是$2+1$（两个块，阶数分别为2和1）。这两个块也都是可逆的，秩之和是$2+1=3$。

3. 特征值$\boldsymbol{0}$（代数重数7）
   极小多项式中$x^3$说明这个特征值对应的最大Jordan块阶数是3，且必须至少存在一个3阶的零Jordan块。零Jordan块的秩之和可以表示为$\sum (k_i - 1) = 7 - t$，其中$t$是零Jordan块的个数（也就是零特征值的几何重数）。

计算秩的最小值 #

矩阵的总秩 = 非零特征值块的秩之和 + 零特征值块的秩之和 = $5+3+(7-t)=15-t$。要让秩最小，就需要让$t$（零Jordan块的个数）尽可能大。

由于必须存在至少一个3阶零Jordan块，我们把7拆成尽可能多的块（每个块阶数不超过3）：$3+1+1+1+1$，此时$t=5$（共5个零Jordan块）。代入计算总秩：$15-5=10$。

对你结论的纠正 #

你认为秩取最小值为8是不正确的，错误原因应该是误将零特征值的代数重数直接当作零空间的维数，但实际上零空间的维数是零Jordan块的个数，且受极小多项式的限制（必须存在3阶零Jordan块，无法全拆为1阶块）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user476275