问题示意图文字说明 #

• 一根垂直立在地面的灯杆，高度为15英尺，顶端装着路灯
• 灯杆旁站着一位6英尺高的男子，垂直站立，正以5英尺/秒的速度沿直线远离灯杆
• 设男子与灯杆底部的水平距离为( x )（题目中此时( x=40 )英尺），影子顶端到灯杆底部的水平距离为( s )，那么男子的影子长度就是( s - x )
• 路灯光线从灯杆顶端直射到男子头顶，再延伸到影子顶端，形成两个相似的直角三角形：
  • 大三角形：直角边为灯杆高度15英尺，以及影子顶端到灯杆的水平距离( s )英尺
  • 小三角形：直角边为男子身高6英尺，以及影子长度( s - x )英尺

解题步骤 #

1. 利用相似三角形建立等式

因为两个直角三角形相似，对应边的比例相等，这是解题的核心逻辑（男子身高就是用来确定小三角形的高，从而和大三角形建立关联的）：
[
\frac{15}{s} = \frac{6}{s - x}
]

2. 化简等式，得到( s )与( x )的线性关系

交叉相乘展开后整理：
[
15(s - x) = 6s \
15s - 15x = 6s \
9s = 15x \
s = \frac{5}{3}x
]

3. 对时间求导，计算影子顶端的移动速率

我们需要的是影子顶端的移动速率( \frac{ds}{dt} )，已知男子远离灯杆的速率( \frac{dx}{dt} = 5 )英尺/秒。对( s = \frac{5}{3}x )两边同时对时间( t )求导：
[
\frac{ds}{dt} = \frac{5}{3} \cdot \frac{dx}{dt}
]
代入( \frac{dx}{dt}=5 )：
[
\frac{ds}{dt} = \frac{5}{3} \times 5 = \frac{25}{3} \approx 8.33 \text{ 英尺/秒}
]

你之前的疑问解答 #

• 男子身高是建立相似三角形的关键条件，没有它我们无法找到( s )和( x )的关联
• 题目里的“40英尺”其实不影响最终结果！因为( s )和( x )是线性关系，它们的速率比是固定的，不管男子离灯杆多远，影子顶端的移动速率都是恒定的( \frac{25}{3} )英尺/秒

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jwan622