嘿，这个问题用相似三角形就能完美解决，毕竟圆台本质就是一个大圆锥被切去顶端小圆锥后的产物，咱们一步步拆解推导：

核心思路：利用相似三角形的比例关系 #

首先先明确几个定义：

• 设圆台的底面大半径为 ( R_1 )，顶面小半径为 ( R_2 )，两端面高度差为 ( H )
• 假设未被切割的完整大圆锥总高度为 ( H_{total} )，被切去的顶部小圆锥高度为 ( h_{cut} )，那么显然 ( H = H_{total} - h_{cut} )

根据相似三角形的性质，大圆锥和小圆锥的半径比等于它们的高度比：

R₁ / H_total = R₂ / h_cut

把 ( h_{cut} = H_{total} - H ) 代入上式，解出完整大圆锥的总高度 ( H_{total} )：

R₁ × (H_total - H) = R₂ × H_total
R₁×H_total - R₁×H = R₂×H_total
H_total × (R₁ - R₂) = R₁×H
H_total = (R₁×H) / (R₁ - R₂)

推导任意高度h处的半径r #

这里分两种常见的高度计量方式：

情况1：h从圆台底面开始计算（h=0对应底面R₁，h=H对应顶面R₂）

此时，距离大圆锥顶点的高度为 ( H_{total} - h )，再次利用相似三角形比例：

r / (H_total - h) = R₁ / H_total

将之前算出的 ( H_{total} ) 代入并化简，最终得到：

r = R₁ - [(R₁ - R₂) × h] / H

情况2：h从圆台顶面开始计算（h=0对应顶面R₂，h=H对应底面R₁）

这种情况下，距离大圆锥顶点的高度为 ( h_{cut} + h )，同样用相似三角形：

r / (h_cut + h) = R₂ / h_cut

代入 ( h_cut = H_total - H = (R₂×H)/(R₁-R₂) ) 化简后，得到更直观的公式：

r = R₂ + [(R₁ - R₂) × h] / H

举个例子验证 #

比如圆台底面半径R₁=10，顶面半径R₂=5，高度H=20：

• 当h=10（从底面往上走10单位，也就是中间位置），代入情况1的公式：( r = 10 - [(10-5)×10]/20 = 7.5 )，符合预期的中间值
• 当h=10（从顶面往下走10单位），代入情况2的公式：( r =5 + [(10-5)×10]/20=7.5 )，结果一致

注意：如果R₁=R₂，那这就不是圆台而是圆柱了，任意高度处的半径都等于R₁（或R₂）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sophie123