嘿，这个问题挺典型的，很多人一开始都会陷入“不管观测结果如何，概率还是初始比例”的误区，但观测结果确实是有意义的，它会改变我们对所选硬币类型的判断，咱们一步步算清楚：

第一步：定义事件与先验概率 #

先明确几个关键事件：

• 事件A：选中的是公平硬币（正面概率50%）
• 事件B：选中的是有偏硬币（正面概率70%）
• 事件C：抛掷6次，恰好出现3次正面

初始的先验概率（没做任何实验时的概率）：

• ( P(A) = \frac{1}{3} )（3枚里选1枚公平硬币）
• ( P(B) = \frac{2}{3} )（3枚里选2枚有偏硬币之一）

第二步：计算两种硬币下出现观测结果的似然概率 #

我们用二项分布公式计算“在选中某类硬币时，出现6次3正”的概率：( P(k;n,p) = C(n,k) \times p^k \times (1-p)^{n-k} )，其中( C(n,k) )是组合数（从n次抛掷里选k次正面的组合数）。

公平硬币的似然：( P(C|A) ) #

[
P(C|A) = C(6,3) \times (0.5)^3 \times (0.5)^3 = 20 \times \frac{1}{64} = \frac{5}{16} = 0.3125
]

有偏硬币的似然：( P(C|B) ) #

[
P(C|B) = C(6,3) \times (0.7)^3 \times (0.3)^3 = 20 \times 0.343 \times 0.027 = 0.18522
]

第三步：用贝叶斯定理计算后验概率 #

贝叶斯定理的核心是：后验概率 = （似然 × 先验概率） / 全概率

我们要求的是“已知出现6次3正，选中的是公平硬币的概率”，也就是( P(A|C) )：
[
P(A|C) = \frac{P(C|A) \times P(A)}{P(C|A) \times P(A) + P(C|B) \times P(B)}
]

代入数值计算：

• 分子：( 0.3125 \times \frac{1}{3} ≈ 0.10417 )
• 分母：( 0.10417 + (0.18522 \times \frac{2}{3}) ≈ 0.10417 + 0.12348 ≈ 0.22765 )
• 最终结果：( P(A|C) ≈ \frac{0.10417}{0.22765} ≈ 0.4576 )，也就是约45.8%

为什么你的直觉错了？ #

因为“6次恰好3次正面”这个结果，更符合公平硬币的表现——有偏硬币的正面概率是70%，理论上抛6次更大概率出现4次及以上正面，而公平硬币出现3次正面的概率更高。所以这个观测结果给了我们额外的信息，让我们有理由调整对“选中的是公平硬币”的概率判断，不再是初始的1/3。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ejtt