你已经顺利找到最小值点，这步做得很好！关于最大值的推导，这里给你几个实用的思路方向：

• 第一步：利用三角恒等变换简化函数
  先对分母用积化和差公式展开：
  $$\sin(x+a)\sin(x+b) = \frac{1}{2}[\cos(a-b) - \cos(2x+a+b)]$$
  分子用降幂公式转化：
  $$\sin^2x = \frac{1 - \cos2x}{2}$$
  把这两个代入原函数，你会发现函数可以转化为仅关于$\cos2x$和$\cos(2x+a+b)$的表达式，再利用和角公式把$\cos(2x+a+b)$展开成$\cos2x$和$\sin2x$的组合，进一步整理成关于单变量的形式。

• 第二步：转化为有理函数或利用三角函数有界性
  设原函数为$$y = \frac{\sin^2x}{\sin(x+a)\sin(x+b)}$$，交叉相乘后把所有项移到一侧，整理成：
  $$A \cos2x + B \sin2x = C$$
  的形式（其中A、B、C都是包含y的表达式）。根据三角函数的有界性，$\sqrt{A^2+B2} \geq |C|$，解这个不等式就能得到y的取值范围，从而找到最大值。

• 变量替换简化计算
  可以尝试令$$t = x + \frac{a+b}{2}$$，把变量平移到区间[a,b]的中点位置，这样分母的两个正弦项可以写成$\sin\left(t + \frac{a-b}{2}\right)$和$\sin\left(t - \frac{a-b}{2}\right)$，再用平方差公式（$\sin(A+B)\sin(A-B)=\sin^2A - \sin^2B$）简化分母，这会让后续的恒等变换更简洁。

需要注意的是，推导过程中要排除分母为零的点（即$x \neq n\pi -a$、$x \neq n\pi -b$，n为整数），这些点不在定义域内，不需要考虑。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user85798