嘿，这个问题提得非常到位！其实在诺特环的前提下，这两个定义是完全等价的，我来给你捋清楚其中的逻辑：

先明确两个定义 #

• 定义A（你的初始认知）：诺特环 ( R ) 是正则环，当且仅当对 ( R ) 的每个素理想 ( \mathfrak{p} )，局部化 ( R_{\mathfrak{p}} ) 是正则局部环。
• 定义B（Hutchins教材中的表述）：诺特环 ( R ) 是正则环，当且仅当对 ( R ) 的每个极大理想 ( \mathfrak{m} )，局部化 ( R_{\mathfrak{m}} ) 是正则局部环。

等价性的推导 #

1. 定义A ⇒ 定义B：这一步非常直观——因为所有极大理想本身都是素理想，所以如果每个素理想处的局部化都是正则的，那极大理想处自然也满足。

2. 定义B ⇒ 定义A：这是关键的反向推导，核心依赖交换代数里的两个结论：

   • 对于诺特环 ( R ) 的任意素理想 ( \mathfrak{p} )，一定存在包含 ( \mathfrak{p} ) 的极大理想 ( \mathfrak{m} )（Zorn引理保证）。此时 ( R_{\mathfrak{p}} ) 可以看作是 ( R_{\mathfrak{m}} ) 在素理想 ( \mathfrak{p}R_{\mathfrak{m}} ) 处的局部化。
   • 正则局部环的局部化仍是正则局部环：正则局部环的本质是“嵌入维数等于 Krull 维数”的诺特局部环，而局部化操作会保持这一性质——对于正则局部环 ( A ) 和它的任意素理想 ( \mathfrak{q} )，( A_{\mathfrak{q}} ) 的嵌入维数和 Krull 维数依然相等，因此也是正则局部环。

结合这两点，当 ( R_{\mathfrak{m}} ) 是正则局部环时，它的局部化 ( R_{\mathfrak{p}} ) 必然也是正则局部环，这就从定义B推导出了定义A。

补充说明 #

有些教材选择用极大理想的版本定义正则环，主要是因为验证起来更简便——只需要检查所有极大理想处的局部化，不用遍历数量可能多得多的素理想，而诺特环的性质保证了这样做是足够的。

对于交换代数初学者来说，不用太纠结表述差异，记住在诺特环的框架下两者等价就好啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者rschwieb