好的，咱们来补全这个证明的另一半！你已经理清了行秩=r ⇒ 行列式秩≥r的逻辑：行秩为r意味着存在r个线性无关的行，从中能选出r个线性无关的列，构成满秩的r阶子矩阵，其行列式非零，所以行列式秩至少是r。现在咱们来搞定反向：行列式秩=r ⇒ 行秩≤r，这样两者就必然相等了。

先明确行列式秩的定义 #

行列式秩为r时，满足两个核心条件：

• 存在至少一个r阶子矩阵$A_r$，使得$\det(A_r)≠0$（这个子矩阵是满秩的）
• 原矩阵中所有r+1阶子式的行列式都为0

核心推导：任意r+1行必线性相关 #

我们要证明：原矩阵$A$中任意r+1个行向量都是线性相关的，这样行秩自然不会超过r。

取$A$中任意r+1行，记为第$i_1,i_2,...,i_{r+1}$行，把它们构成一个$(r+1)×n$的子矩阵$B$。现在用反证法来推导：

假设$B$的r+1行是线性无关的，那么$B$的行秩为r+1，根据行秩=列秩的结论（你之前应该也用到过这个），$B$的列秩也为r+1。这意味着$B$中存在r+1个线性无关的列，把这r+1列取出来，就能构成一个$(r+1)×(r+1)$的子矩阵$C$。

因为$C$的列向量线性无关，所以$C$是满秩矩阵，$\det(C)≠0$。但$C$其实是原矩阵$A$的一个r+1阶子式，这和“行列式秩为r时所有r+1阶子式行列式为0”的定义矛盾！

所以假设不成立，$B$的r+1行必然线性相关。

结论 #

既然$A$中任意r+1行都线性相关，那么$A$的行秩最多是r，也就是行秩≤r。

结合你已经证明的行秩=r ⇒ 行列式秩≥r，现在两个方向结合起来：
$$\text{行秩} \leq \text{行列式秩} \quad \text{且} \quad \text{行列式秩} \leq \text{行秩}$$
所以$\text{行秩}=\text{行列式秩}$，完美闭环！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Annalena