你观察得非常仔细！这两个离散时间终值定理的表述其实是完全等价的，核心原因在于极限运算的特性，咱们一步步拆解来看：

1. 先确认你的代数推导完全正确：1 - z⁻¹确实等于(z-1)/z，这一步没有问题。
2. 关键在于当计算z→1的极限时，1/z在z=1处是连续且有定义的，它的极限值为1。因此可以对极限进行拆分运算：
   $$
   \lim_{z\to 1} (1-z^{-1})F(z) = \lim_{z\to 1} \frac{z-1}{z} F(z) = \lim_{z\to 1} (z-1)F(z) \cdot \lim_{z\to 1} \frac{1}{z}
   $$
   由于lim(z→1)1/z = 1，上面的式子最终就等于lim(z→1)(z-1)F(z)，和第一个表述的右边完全一致。
3. 需要注意的是，两个公式成立的前提条件完全相同：离散序列f[k]的终值lim(k→∞)f[k]必须是有限值，同时F(z)的所有极点都位于单位圆内部，最多在z=1处有一个一阶极点。只有满足这些条件，极限拆分的操作才合法，两个公式才能得到正确结果。

实际例子验证 #

比如单位阶跃序列f[k] = u[k]，它的z变换是F(z) = z/(z-1)（收敛域|z|>1）：

• 用第一个公式计算：lim(z→1)(z-1)*z/(z-1) = lim(z→1)z = 1，和lim(k→∞)u[k] = 1一致。
• 用第二个公式计算：lim(z→1)(1-z⁻¹)*z/(z-1) = lim(z→1)(z-1)/z * z/(z-1) = lim(z→1)1 = 1，结果完全相同。

所以你并没有遗漏什么，这两个表述只是形式不同，本质是等价的，只是不同教材会偏好不同的写法而已～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user1011182