首先明确核心定义：

• 集合 A = {m + n√2 : m, n ∈ ℤ}，其中ℤ代表整数集，ℝ代表实数集

题目给出的四个待判断命题：

• (1) A在ℝ中稠密；
• (2) A在ℝ中仅有可数个聚点；
• (3) A在ℝ中无聚点；
• (4) 只有无理数才能成为A的聚点。

这里要先指出一个关键疏漏：题目里给出的A的元素列表是不完整的，它仅列举了m=n的特殊情况：

已知A={…,-3-3√2,-2-2√2,-1-√2,0,1+√2,2+2√2,3+3√2,4+4√2,…}

但实际上集合A包含所有整数m和n的任意组合，比如1（m=1,n=0）、√2（m=0,n=1）、2+√2（m=2,n=1）、1+2√2（m=1,n=2）等元素都属于A，这个遗漏正是后续论证错误的根源。

来看题目里针对命题(1)的论证：

针对命题(1)的论证为：取x=(3+3√2)/2∈ℝ-A，取δ=(3+3√2)/4，则(x-δ,x+δ)∩A=∅

我们计算这个区间的实际范围：

• x-δ = (3+3√2)/2 - (3+3√2)/4 = (3+3√2)/4 ≈ 1.810
• x+δ = (3+3√2)/2 + (3+3√2)/4 = (9+9√2)/4 ≈ 5.431

现在看A中的元素，比如2+√2 ≈ 3.414（对应m=2,n=1），这个数明显落在区间(1.810, 5.431)内，也就是说(x-δ,x+δ)∩A并不为空集，所以这个论证是错误的。

实际上命题(1)是正确的：因为√2是无理数，利用鸽巢原理可以证明，对于任意实数r和任意小的正数ε，总能找到整数m,n使得|(m+n√2) - r| < ε——这意味着A在实数集ℝ中是稠密的，它的聚点是整个实数集ℝ（所有实数都是A的聚点）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Styles