是的，这个结论完全成立，而且我们可以借助紧致性定理给出一个清晰的反证法证明。下面一步步拆解思路：

核心逻辑：反证法 + 紧致性定理 #

我们先做出相反假设：设T是有限语言L中的一致闭理论，它不可有限可公理化，但T只有有穷模型，然后推导矛盾——这就反向证明了原命题为真。

步骤1：用紧致性定理推导T的模型存在大小上限 #

首先，对每个正整数k，我们能在有限语言L中写出这样的句子：

∃x₁∃x₂...∃x_k (∧₁≤i<j≤k x_i ≠ x_j)

它的直观意思是“论域里至少有k个不同的元素”，我们记这个句子为$\varphi_k$。

现在考虑理论集合$T \cup {\varphi_k \mid k≥1}$：

• 因为我们假设T只有有穷模型，任何T的模型的元素数量都是固定的有限值，必然存在某个k超过这个数量，所以这个集合不可能有模型，也就是它是不一致的。

根据紧致性定理的逆否命题：如果一个理论集合不一致，那么它必然存在某个有限子集也是不一致的。也就是说，存在某个正整数m，使得$T \cup {\varphi_{m+1}}$是不一致的。

这就意味着$T \vdash \neg\varphi_{m+1}$——换句话说，T的所有模型的元素数量都不超过m，也就是有一个明确的大小上限。

步骤2：证明“模型有大小上限的闭理论必可有限公理化” #

既然T的所有模型都是大小≤m的有穷结构，再结合L是有限语言这一条件，我们能得到两个关键结论：

1. 大小≤m的L-结构的同构类数量是有限的：论域大小可以是1到m，每个大小下，语言里的函数、关系符号的解释方式都是有限种（毕竟语言本身是有限的），所以总共有有限个互不同构的有穷结构。
2. 每个有穷L-结构的完全理论是有限可公理化的：对于任意有穷结构M，我们可以写出一个句子$\sigma_M$，它能完全刻画M的所有细节——包括论域大小、所有关系的取值、所有函数的映射结果，任何满足$\sigma_M$的结构都和M同构。所以${\sigma_M}$就是M的完全理论的公理集。

现在，设T的所有模型对应的同构类是$M_1, M_2, ..., M_k$，每个$M_i$对应刻画它的句子$\sigma_{M_i}$。那么T等价于理论${\sigma_{M_1} \lor \sigma_{M_2} \lor ... \lor \sigma_{M_k}}$：

• 任何T的模型都满足这个析取句（因为它本身就是某个$M_i$的同构模型）；
• 任何满足这个析取句的结构，必然是某个$M_i$的同构，因此也属于T的模型。

这说明T可以被单个句子公理化，也就是T是有限可公理化的——但这和我们最初假设的“T不可有限公理化”直接矛盾！

最终结论 #

既然假设“T只有有穷模型”会导出矛盾，那么原命题必然成立：有限语言中，不可有限公理化的一致闭理论一定存在无穷模型，而整个证明的核心步骤（推导模型存在大小上限）正是依赖于紧致性定理。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user297564