我来帮你拆解这个问题哈，先把核心逻辑理清楚：

首先明确QS系统这条公理的核心要求：只有当变元$v$在公式$A$中没有自由出现时，$(A→∀vA)$才能作为公理。这背后的核心逻辑是保证公理必须是在任何解释下都为真的逻辑真理，毕竟公理是整个系统的基础，不能存在反例。

为什么去掉限制会出问题？ #

你提到的Hunter举的反例Fx₁→∀x₁Fx₁，我给你把这个例子掰碎了讲清楚：

• 设定论域$D$为自然数集，把谓词F解释成「是偶数」这个性质；
• 那么Fx₁的含义是「$x₁$是偶数」，∀x₁Fx₁的含义是「所有自然数都是偶数」；
• 现在看这个蕴含式：「如果$x₁$是偶数，那么所有自然数都是偶数」。当我们取$x₁=2$（它是偶数，前件为真），但「所有自然数都是偶数」明显是假命题（后件为假），整个蕴含式就变成了真→假，结果为假。

这就直接证明了Fx₁→∀x₁Fx₁不是逻辑有效式——因为存在一种解释（论域+谓词赋值）让它为假，而公理必须是普遍成立的，所以这个限制绝对不能去掉。

为什么原公理在限制下是有效的？ #

比如假设$A$是∀x₂Fx₂，$v$是$x₁$（$x₁$在$A$中没有自由出现），那么∀x₂Fx₂→∀x₁∀x₂Fx₂显然是成立的：如果所有$x₂$都满足$F$，那量化一个根本没在$A$里出现的$x₁$，不会改变原命题的真值，整个蕴含式自然恒真。

总结一下 #

• 限制条件的本质是避免把「某个个体满足性质」错误推广到「所有个体满足性质」；
• 当$v$在$A$中自由时，$A$的真值依赖于$v$的具体取值，此时强行全称量化$v$会导致蕴含式可能为假，违反公理必须恒真的要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Squirtle