好问题！你在希尔伯特空间算子上的推导思路非常关键，而C代数虽然不是内积空间，但它的**C公理和正元素的谱理论**能帮我们把这个结论平移过来，核心逻辑其实是相通的。下面一步步拆解证明：

1. 先明确C*代数的几个核心性质 #

首先回顾两个对证明至关重要的基本结论：

• 对于C*代数中的任意元素$u$，$u^*u$是正元素（自伴且谱全在非负实数集$\mathbb{R}_{\geq0}$中），而正元素存在唯一的正平方根，也就是我们定义的$|u| = \sqrt{u^*u}$。
• 在有单位元的C*代数中，元素$a$可逆的充要条件是：存在元素$b$使得$ab=ba=1$；同时还有一个等价判定：$0 \notin \sigma(a)$（$a$的谱不包含0）。

2. 关键桥梁：$u$可逆 $\iff u^*u$可逆 #

这是C*代数的核心性质之一，我们可以快速验证：

• 如果$u$可逆，那么它的伴随$u^{*$也可逆（逆元是$(u}{-1})^{*$），因此$u}u$作为两个可逆元素的乘积，自然可逆（逆元是$u^{-1}(u)^{-1}$）。
• 反过来，如果$u^u$可逆，那么我们可以构造$u$的左逆：$v = (u^*u){-1}u^$，此时$vu = (u^*u){-1}u^u = 1$。同时，$uu^{*$也可逆（因为$(uu})^*=uu$，且$\sigma(uu^*)=\sigma(uu)\cup{0}$，但$u^{*u$可逆意味着$0\notin\sigma(u}u)$，所以$0\notin\sigma(uu^)$），进而构造右逆$w = u^*(uu)^{-1}$，此时$uw=1$。在C代数中，左逆和右逆必然相等，因此$u$可逆。

3. 正元素的平方根与可逆性的关系 #

对于正元素$a$，$a$可逆当且仅当它的正平方根$a^{1/2}$可逆，理由如下：

• 如果$a$可逆，那么$(a^{-1}){1/2}$是$a^{{1/2}$的逆元（因为$(a}{1/2})(a^{-1}){1/2} = (a \cdot a^{-1}){1/2} = 1^{{1/2}=1$，这里用到正元素平方根的乘积性质：$(ab)}{1/2}=a^{1/2}b{1/2}$当$a,b$都是正元素且交换时，显然$a$和$a^{-1}$交换）。
• 如果$a^{{1/2}$可逆，那么$a=(a}{1/2})^{2$作为可逆元素的平方，自然可逆（逆元是$(a}{1/2})^{-1}$的平方）。

4. 整合结论 #

现在把上面的结论串起来：
我们有$|u| = (u^*u){1/2}$，结合步骤2和步骤3：
$$u \text{可逆} \iff u^*u \text{可逆} \iff (u^*u){1/2} \text{可逆} \iff |u| \text{可逆}$$

补充：和希尔伯特空间算子结论的联系 #

你之前在希尔伯特空间中用内积推导的$ker(A)=ker(|A|)$，在C代数的忠实希尔伯特空间表示（GNS构造保证每个C代数都能嵌入到某个$B(H)$中）下是完全成立的，这也能从另一个角度验证我们的结论：当把C代数元素看成$B(H)$中的算子时，$u$可逆（作为算子）当且仅当$ker(u)={0}$且值域稠密，而$ker(u)=ker(|u|)$，所以$|u|$的核也平凡，再加上$|u|$是自伴算子，值域稠密等价于核平凡，因此$|u|$可逆。这和我们纯C代数的证明是一致的。

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