这是个很有意思的变体问题——其实核心逻辑和标准赌徒破产问题是相通的，我来一步步拆解推导给你看：

问题定义与边界条件 #

首先明确我们要计算的概率：

• 设$P_k$为初始持有$k$个筹码时，最终输光（筹码变为0）的概率
• 设$Q_k$为初始持有$k$个筹码时，最终获胜（筹码达到$N$）的概率

边界条件很直观：

• 当已经输光（$k=0$）：$P_0=1$，$Q_0=0$
• 当已经获胜（$k=N$）：$P_N=0$，$Q_N=1$

状态转移方程推导 #

对于$0 < k < N$的中间状态，每轮游戏有三种结果：

• 概率$p$：筹码+1，后续输光概率为$P_{k+1}$
• 概率$q$：筹码-1，后续输光概率为$P_{k-1}$
• 概率$r$：筹码不变，后续输光概率还是$P_k$

把这些可能性整合起来，就能得到状态转移方程：
$$P_k = pP_{k+1} + qP_{k-1} + rP_k$$

接下来整理这个方程：把$rP_k$移到左侧，利用$1 - r = p + q$的关系，两边除以$p+q$，会得到：
$$P_k = \frac{p}{p+q}P_{k+1} + \frac{q}{p+q}P_{k-1}$$

看到这里是不是很眼熟？这个方程和标准赌徒破产问题的状态方程完全一致——只是把标准问题里的“加1概率”换成了$\frac{p}{p+q}$，“减1概率”换成了$\frac{q}{p+q}$。而关键在于，这两个新概率的比值$\frac{q/(p+q)}{p/(p+q)} = \frac{q}{p}$，和原问题的概率比完全相同，这意味着最终的解的形式和标准问题一模一样。

分情况求解 #

情况1：$p \neq q$（非公平游戏）

递推方程的通解为：
$$P_k = A + B\left(\frac{q}{p}\right)^k$$

代入边界条件$P_0=1$和$P_N=0$，解方程组：

1. 当$k=0$：$1 = A + B$
2. 当$k=N$：$0 = A + B\left(\frac{q}{p}\right)^N$

解得：
$$A = \frac{\left(\frac{q}{p}\right)^{N}{\left(\frac{q}{p}\right)}N - 1}, \quad B = \frac{1}{1 - \left(\frac{q}{p}\right)^N}$$

代入通解得到最终输光概率：
$$P_k = \frac{\left(\frac{q}{p}\right)^k - \left(\frac{q}{p}\right)^N}{1 - \left(\frac{q}{p}\right)^N}$$

对应的获胜概率就是$1 - P_k$：
$$Q_k = \frac{1 - \left(\frac{q}{p}\right)^k}{1 - \left(\frac{q}{p}\right)^N}$$

情况2：$p = q$（公平游戏）

此时递推方程的特征方程有重根，通解变为：
$$P_k = A + Bk$$

代入边界条件：

1. 当$k=0$：$1 = A$
2. 当$k=N$：$0 = A + BN \implies B = -\frac{1}{N}$

所以输光概率：
$$P_k = 1 - \frac{k}{N}$$

获胜概率：
$$Q_k = \frac{k}{N}$$

核心结论 #

加入“筹码不变”的第三种事件后，最终输光/获胜的概率和标准赌徒破产问题完全相同。原因很简单：第三种事件只是让当前轮次“重复”，相当于我们只关注那些真正改变筹码的有效轮次，而有效轮次的概率比和原问题一致，因此结果不会变化。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user341296