首先，你选择按第一行展开行列式的思路是完全正确的，但在计算二阶行列式和后续展开过程中出现了两处小错误，导致结果和书本答案不一致。我们一步步拆解纠正：

步骤1：正确计算每个二阶行列式 #

你写出的展开式是对的：
$$(a-x) \begin{vmatrix} -x& 0\1&-x\end{vmatrix}-b\begin{vmatrix} 1& 0\0&-x\end{vmatrix}+c\begin{vmatrix} 1& -x\0&1\end{vmatrix}$$

我们逐个核对二阶行列式的计算：

• 第一个二阶行列式：$\begin{vmatrix}-x&0\1&-x\end{vmatrix} = (-x) \times (-x) - 0 \times 1 = x^{2$（你错误地算成了$x}2 - 1$，导致展开后多了$-a$和$+x$的冗余项）
• 第二个二阶行列式：$\begin{vmatrix}1&0\0&-x\end{vmatrix} = 1 \times (-x) - 0 \times 0 = -x$（这部分你算对了，$-b \times (-x) = bx$）
• 第三个二阶行列式：$\begin{vmatrix}1&-x\0&1\end{vmatrix} = 1 \times 1 - (-x) \times 0 = 1$（你错误地算成了$1+x$，导致多了$cx$的冗余项）

步骤2：正确展开并合并同类项 #

把正确的二阶行列式值代入展开式：
$$(a-x)x^2 - b \times (-x) + c \times 1$$
展开后计算：
$$a x^2 - x^3 + bx + c$$
整理成降幂排列的形式就是：
$$-x^3 + a x^2 + bx + c$$
这和书本给出的答案完全一致。

总结你的错误点 #

• 第一个二阶行列式计算失误，误将$x^2$算成$x2 - 1$，引入了多余的$-a$和$+x$项
• 第三个二阶行列式计算失误，误将$1$算成$1+x$，引入了多余的$cx$项

修正这两处错误后，你的结果就会和书本答案匹配啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mathguy