嘿，这个分式递推式其实用倒数变换就能轻松搞定，我给你一步步拆解：

1. 倒数转换，简化递推关系
   先对原递推式两边取倒数，这是处理这类分式递推的常用技巧：
   $$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{a_n - 1}{a_n} = 1 - \frac{1}{a_n}$$
   咱们令 $b_n = \frac{1}{a_n}$，这样递推式就变成了更简单的线性关系：
   $$b_{n+1} = -b_n + 1$$

2. 求解线性递推的通解
   这是个线性非齐次递推，咱们分两步来：

   • 先看齐次方程：$b_{n+1} = -b_n$，它的通解是 $b_n^{(h)} = C(-1)^n$，这里C是任意常数。
   • 再找非齐次方程的特解：因为右边是常数1，假设特解是常数 $b^$，代入得 $b^ = -b^* + 1$，解得 $b^* = \frac{1}{2}$。
   • 把齐次解和特解加起来，就是完整通解：
     $$b_n = C(-1)^n + \frac{1}{2}$$

3. 换回原变量，得到$a_n$的表达式
   把 $b_n = \frac{1}{a_n}$ 代回去，整理一下：
   $$a_n = \frac{1}{C(-1)^n + \frac{1}{2}} = \frac{2}{2C(-1)^n + 1}$$

4. 用初始条件确定常数C
   假设你有初始值 $a_0 = k$（注意k≠1，否则递推式分母为0，无意义），代入n=0：
   $$\frac{1}{k} = C + \frac{1}{2} \implies C = \frac{2 - k}{2k}$$
   把C代入$a_n$的表达式，就能得到带初始条件的具体解：
   $$a_n = \frac{2k}{(2 - k)(-1)^n + k}$$

你可以验证一下，比如取$a_0=3$，$a_1=3/(3-1)=3/2$，代入公式得$a_1=2*3/[(2-3)(-1)+3]=6/(1+3)=3/2$，完全正确；$a_2=(3/2)/(3/2-1)=3$，公式里$a_2=6/[(2-3)(1)+3]=6/(-1+3)=3$，能明显看出这个序列是周期为2的循环~

另外补充一句，这类分式线性递推（也叫Möbius变换递推），除了倒数变换，也可以用特征方程法，但对这个具体问题来说，倒数变换是最直接高效的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Freddie