害，隔了7年再回头啃这个群论证明，确实容易在细节上犯懵！我帮你把当年的步骤梳理清楚，顺便补上可能让你疑惑的关键细节：

(i) 封闭性 #

当年的证明：已知对任意 (a,b \in G)，(a•b = ab÷5 \in G)，因此满足封闭性。
这里要补个关键前提：G不能是随便的集合！它得是所有形如 (5k)（k为非零有理数/或特定整数）的集合，这样ab÷5才会依然属于G。比如a=5m，b=5n，那ab÷5=(25mn)÷5=5mn，还是G里的元素。当年老师可能默认了这个前提没明说，这大概率是你疑惑的点之一！

(ii) 结合律 #

当年的证明：设(a,b,c \in G)，(a•(b•c)=a•(bc÷5)=abc÷5)，((a•b)•c=(ab÷5)•c=abc÷5)，因此满足结合律。
这里当年的计算写错啦！正确的推导应该是：

• 左边：(a•(b•c) = a•\left(\frac{bc}{5}\right) = \frac{a \times \frac{bc}{5}}{5} = \frac{abc}{25})
• 右边：((a•b)•c = \left(\frac{ab}{5}\right)•c = \frac{\frac{ab}{5} \times c}{5} = \frac{abc}{25})
  左右两边相等，所以结合律成立。当年漏了一次除以5，这肯定是让你疑惑的地方！

(iii) 单位元 #

当年的证明：设(a•e = a \Rightarrow \frac{ae}{5}=a \Rightarrow e=5)，因此单位元是5。
这一步是对的！不过要注意a不能是0（群里没有零元素，否则逆元不存在），所以G里的元素都是非零的，这样两边除以a才有意义。单位元5确实满足对任意a∈G，(a•5=\frac{a×5}{5}=a)，(5•a=\frac{5×a}{5}=a)，完美符合单位元的定义。

(iv) 逆元 #

当年的证明：设(a•b = e \Rightarrow \frac{ab}{5}=5 \Rightarrow b=\frac{5×5}{a}=\frac{25}{a})，因此逆元为……
这里同样要依赖G的定义：如果G是所有非零有理数的集合，那(\frac{25}{a})肯定在G里；如果G是5的非零整数倍集合，那只有当a是±5时，(\frac{25}{a})才是5的整数倍（比如a=5，逆元是5；a=-5，逆元是-5），这时候G就是{5,-5}，也构成群。当年老师应该是默认G为非零有理数集合，这样每个元素的逆元都存在且属于G。

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