嘿，我们来一步步搞定这个方程吧！先从因式分解入手，再逐个验证整数取值，最后找出所有解并确认质数解的情况：

步骤1：因式分解方程 #

先把方程两边拆解成更易分析的形式：

• 左边：x² − x = x(x−1)，这是两个连续整数的乘积，而连续整数必然互质（最大公约数为1）。
• 右边：y⁵ − y = y(y⁴−1) = y(y²−1)(y²+1) = y(y−1)(y+1)(y²+1)，这里包含三个连续整数y−1, y, y+1，还有一个和前三者几乎互质的因子y²+1（只有当y是奇数时，y²+1和y±1有公约数2）。

步骤2：枚举整数y的可能取值 #

左边是二次增长的连续整数乘积，右边是五次多项式，增长速度差很多，所以我们只需要验证较小的整数y，再证明更大/更小的y无解：

负整数y的情况 #

• y = -2：右边计算得(-2)^5 - (-2) = -32 + 2 = -30，方程变为x² − x + 30 = 0，判别式1 - 120 = -119 < 0，没有实根，自然也无整数解。
• y = -1：右边计算得(-1)^5 - (-1) = -1 + 1 = 0，方程变为x² − x = 0，解得x=0或x=1，对应解：(0, -1)、(1, -1)。
• y ≤ -3：右边y⁵ − y是绝对值极大的负数，方程变成x² − x + |y⁵−y| = 0，判别式1 - 4|y⁵−y|肯定小于0，没有实根，无解。

非负整数y的情况 #

• y = 0：右边计算得0^5 - 0 = 0，方程变为x² − x = 0，解得x=0或x=1，对应解：(0, 0)、(1, 0)。
• y = 1：右边计算得1^5 - 1 = 0，方程变为x² − x = 0，解得x=0或x=1，对应解：(0, 1)、(1, 1)。
• y = 2：右边计算得2^5 - 2 = 32 - 2 = 30，方程变为x² − x - 30 = 0，判别式1 + 120 = 121 = 11²，解得x=(1±11)/2即x=6或x=-5，对应解：(6, 2)、(-5, 2)。
• y = 3：右边计算得3^5 - 3 = 243 - 3 = 240，方程变为x² − x - 240 = 0，判别式1 + 960 = 961 = 31²，解得x=(1±31)/2即x=16或x=-15，对应解：(16, 3)、(-15, 3)。
• y ≥ 4：右边y⁵ − y的增长速度远快于左边的二次式，比如y=4时右边=1020，方程x²−x−1020=0的判别式1+4080=4081，不是完全平方数（63²=3969，64²=4096），无整数解；当y≥4时，这种差距会越来越大，不可能转化为两个连续整数的乘积，因此无解。

步骤3：所有整数解汇总 #

把上面找到的解整理一下，就是方程的全部整数解：

• (0, -1)、(1, -1)
• (0, 0)、(1, 0)
• (0, 1)、(1, 1)
• (6, 2)、(-5, 2)
• (16, 3)、(-15, 3)

步骤4：寻找质数解（x和y均为质数） #

质数的定义是大于1的自然数，我们从上述解里筛选符合条件的：

• y是质数的情况只有y=2、y=3：
  • y=2时，x=6（不是质数）、x=-5（非正整数，不符合质数定义）；
  • y=3时，x=16（不是质数）、x=-15（非正整数，不符合质数定义）；
• x是质数的情况：所有解里的x值是0、1、6、-5、16、-15，都不满足质数要求。

所以，这个方程没有x和y均为质数的解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jamie Lacey